Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo Cẩm Giàng (Có đáp án)

Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

UBND HUYỆN CẨM GIÀNG PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2019- 2020

MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

Câu1. (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

b) Rút gọn biểu thức: rồi tìm x sao

cho

Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a)

b)

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 = 0 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: ; và .

b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua D. Giao điểm của EF với AM là N.

Chứng minh: HN.AD=AN.DM. c) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng. Câu 5. (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc. Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức: P =

---------------------Hết-----------------------

          x 2 x 3 x 4 x 5 120

2

2

x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2                       A A

x x+1 x+2 x+3 + + + =x +2016 2020 2019 2018 2017

   

2 3x 4 x 1 6x 7 6    

AE AB AF AC  · · AEF CED 

      1 1 1 a b c bc a ca b ab c     

DeThi.edu.vn

Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC: 2019 - 2020

MÔN: TOÁN 8 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang

Câu Nội dung Điểm a) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 120 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120 0,25

= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120 = (x2 + 7x + 11)2 - 112 0,25

= (x2 + 7x )( x2 + 7x + 22) 0,25

= x(x + 7)( x2 + 7x + 22) 0,25

b) 0,25

0,25

Vậy với x 0,25

1 (2 điểm)

0,25

a)



0,25

 0,25

x + 2020 = 0 vì 0,25

2 (2 điểm)

 x = -2020

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=- 2020.

0,25

2

2

x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2                                 

2 x 2(x 2) x 2 (x 2)(x 2) 10 x A : (x 2)(x 2) x 2           

2 2 x 2x 4 x 2 x 4 10 x A : (x 2)(x 2) x 2          6 x 2 1 A (x 2)(x 2) 6 x 2 1 A x 2    2 

           

1 A A A 0 0 x 2 0 x 2 x 2

x x+1 x+2 x+3 + + + =x +2016 2020 2019 2018 2017 x x+1 x+2 x+3 +1+ +1+ +1+ +1=x +2016+4 2020 2019 2018 2017 x+2020 x+2020 x+2020 x+2020 + + + =x +2020 2020 2019 2018 2017 1 1 1 1 ( 2020)( + + + 1) 0 2020 2019 2018 2017 x    

1 1 1 1 + + + 1 0 2020 2019 2018 2017  

DeThi.edu.vn

Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

b)  0,25

Đặt 6x + 7 = t, ta có: (*) 

0,25

- Với t = 3, ta có 0,25

- Với t = -3, ta có

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

0,25

a) x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0

(x2 + 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) – 7 = 0 0,25

(x+1)2 - (y + 2)2 = 7 (x – y - 1)(x + y + 3) = 7 0,25

Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0 x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1 0,25

x = 3 ; y = 1 Vậy phương trình có nghiệm dương duy nhất (x,y) =(3;1) 0,25

b) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 0,25

Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì B = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 0,25

= (x2 + 5xy + 5y2)2

V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z

0,25

3 (2 điểm)

Vậy B là số chính phương. 0,25

4 (3 điểm)

Vẽ hình đúng phần a : 0,25

2 (3x 4)(x 1)(6x 7) 6    

2 (6x 8)(6x 6)(6x 7) 72 (*)    

2 4 2 (t 1)(t 1)t 72 t t 72 0 t 3         2 6x 7 3 x 3     

5 6x 7 3 x 3    

2 5 x ;x 3 3    

  







   

 

DeThi.edu.vn