10 Bài toán học sinh giỏi Lớp 8 chọn lọc - Nguyễn Văn Đại

“Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

Người thành “đạt” không dành “chỗ” cho kẻ lười “biếng”.

10 BÀI TOÁN HSG 8 CHỌN LỌC

1/ Chứng minh rằng: với mọi số chẵn n.

Giải

Ta có: = = Đặt ( vì n chẵn) Do đó: Ta có:

Vậy chẵn.

2/ Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

Giải

- Tìm GTNN của biểu thức.

Vậy GTNN của biểu thức A = - 1 đạt được khi x = 6.

- Tìm GTLN của biểu thức.

Vậy GTLN của biểu thức A = 4 đạt được khi

3/ Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:

Giải

Ta có:

Đặt = t

      1 3 4 6 10 x A x x x x      

2 7 6 x x  

  

 

2 2

6 10

6 9 1 3 1 1

t A t t

t t t

   

     

n n n 8 6 2 3   48 

n n n 8 6 2 3   ) 8 2 4 ( ) 8 6 ( 2 2       n n n n n n n

) 4 )( 2 ( )] 4 ( 2 ) 4 ( [       n n n n n n n k n 2 

( 2)( 4) 8 ( 1)( 2) n n n k k k - - = - -

8 8 8 ( 1)( 2) 48 ( 1)( 2) 6 ; k

k k k k k k k k

ü ® " Î ïï Þ - - ýù - - " Î ïþ

M ¢ M M ¢

3 2 6 8 48 n n n n - + ® " M

2 27 12x A x 9 - = +

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2

27 12x (x 12x 36) x 9 A x 9 x 9

x 6 x 9 x 6 A 1 1 x 9 x 9

- - + - - = = + +

- - + - = = - ³ - + +

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 2 2

2

2

4x 36 4x 12x 9 4 x 9 2x 3 27 12x A x 9 x 9 x 9

2x 3 A 4 4 x 9

+ - - - + - + - = = = + + +

+ = - £ +

3 x 2  

( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 (x) A x 1 x 6 x 3 x 4 x 7x 6 x 7x 12 10 é ùé ù = - - - - = - + - + + ê úê ú ë ûë û

DeThi.edu.vn

“Mầm đá” Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

đạt được khi t = -3

Do đó: đạt được khi

Vậy GTNN của biểu thức đạt được khi hoặc

4/ Tìm dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho đa thức x2 + 8x + 12.

Giải

Đặt F(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 Ta có: F(x) = [(x + 1)(x + 7)][(x + 3)(x + 5)] + 9 F(x) = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 9 F(x) = [(x2 + 8x + 12) -5][(x2 + 8x + 12) + 3] + 9 F(x) = [(x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – 6]: (x2 + 8x + 12) dư - 6

Vậy phép chia đa thức F(x) cho đa thức x2 + 8x + 12 dư - 6.

5/ Giải phương trình sau:

Giải

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 và y = - 1.

6/ Tìm a, b sao cho chia hết cho đa thức

Giải

Tìm a, b ta có:

+ Thay x = 1 có: a + b + 6 = 0 (1) + Thay x = - 2 có : - 8a + 4b - 24 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Vậy khi a = - 4 và b = - 2 thì đa thức chia hết cho đa thức

.

7/ Chứng minh A = 3n3 + 15n chia hết cho 18 với mọi n.

Giải Ta có:

 1 Min t A 

0 2 2 2 4 1 2       x x y y



3 2 f x ax bx 10x 4     

2 g x x x 2   

Þ

(x)Min A 1  2 x 7x 6 3   

1 2

2

7 13 x 2 x 7x 9 0

7 13 x 2

        

   

(x) A 1  7 13 x 2   7 13 x 2  

   

2 x x 1 2 2x x

2 2 x

x

y 4 2y 2 2 0 (y 2y 1) (2 2.2 1) 0

y 1 0 y 1 y 1 2 1 0 x 0 2 1 0

             

                

2 (x) g x x 2   

   3 2 2 ax bx 10x 4 x x 2 x 1 x 2         

a b 6 0 a b 6 0 3a 12 0 a 4 8a 4b 24 0 2a b 6 0 b a 6 b 2                                   3 2 (x) f = - 4x - 2x 10x 4  

DeThi.edu.vn