Lời giải 500 Đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phần 2 - Nguyễn Văn Đại

Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

Lời giải

500 HSG Toán 8

Đề 12:

Bài 2:

a/ Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy ta ®ưîc 242.

b/ Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B.

A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n

Giải

a/ Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là a ; a + 1 ; a + 2. - Theo đề bài ta có:

       

         

2

1

2

a(a 1) a(a 2) (a 1)(a 2) 242

a 2a 80 0

a 8 (tmñk)

a 10 (loïai)

Vậy ba số tự nhiên liên tiếp đó là 8 ; 9 ; 10.

b/ Tìm n để A chia hết cho B ta có:

 

           

              

3 2

2 2

2

(2)

1 2

2

2

A n 2n 3n 2 2 n 3 B n n n n n n Ö 1; 2

1 5 n (loaïi) 2 n n 1

1 5 n (loaïi) 2 n n 1 (loaïi)

02

DeThi.edu.vn

Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

           

3 2

4

2

n 1 (tmñk) n n 2 n 2 (tmñk)

n n 2 (loaïi)

Vậy khi n = -1 hoặc n = 2 thì  A B.

Bài 3

a/ Cho 3 số x, y ,z thoã mãn x.y.z = 1. Tính biểu thức:

M = zx z yz y xy x         1

1 1

1 1

1

b/ Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chøng minh r»ng: b a c a c b c b a        

1 1 1  c b a

1 1 1  

Giải

a/ Vì x . y . z = 1 ta có:

      

       

            

2

1 1 1 M 1 x xy 1 y yz 1 z zx 1 x xy M 1 x xy x xy xyz xy xyz x yz 1 x xy M 1 x xy x xy 1 xy 1 x 1 x xy M 1 1 x xy M 1

Đề 15:

Câu 3: Giải phương trình: 0 6 995

6 996

5 997

4 998

3 999

2 1000

1              x x x x x x

Giải

 

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 6 0 1000 999 998 997 996 995 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1 x 1001 0 1000 999 998 997 996 995 x 1001 0

x 1001

            

                  

               

  

 

DeThi.edu.vn

Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

Đề 16

Câu 1: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên.

3 2 2x x 2x 5 A 2x 1     

Giải

 

3 2

2

(4)

2x x 2x 5 4 A x x 2x 1 2x 1 2x 1 Ö 1; 2; 4

2x 1 1 x 0 (tmñk) 2x 1 1 x 1 (tmñk) 1 2x 1 2 x (loaïi) 2

3 2x 1 2 x (loaïi) 2 3 2x 1 4 x (loaïi) 2

5 2x 1 4 x (loaïi) 2

            

      

   

   

   

   

Vậy khi x = 0 hoặc x = - 1 thì biểu thức A nhận gí trị nguyên.

Đề 16

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A =

9 12 27

2 

 x

x

Giải

+ Tìm GTLN của biểu thức A

     

 

2 2 2 2

2 2

2

2

4x 36 4x 12x 9 4 x 9 2x 3 A x 9 x 9

2x 3 -3 A 4 4 khi x = . x 9 2

-3 Vaäy GTLN cuûa A = 4 khi x = . 2

          

    

+ Tìm GTNN của biểu thức A

      

 

2 2 2 2

2 2

2

2

x 12x 36 x 9 x 6 x 9 A x 9 x 9

x 6 A 1 1 khi x = 6. x 9 Vậy GTNN của A = - 1 đạt được khi x = 6.

          

   

DeThi.edu.vn

Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

Đề 20

Câu IV: Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình sau;

2 yx yx + y = 1 

Giải

   

2

2

y = 1 y = 1 y = 1 y x x + 1 = 1 x = 0 (tmñk) x x + 1 0 x x + 1 = 1 x = -1 (loaïi)

                              

Vậy nghiệm nguyên không âm của pt là (x, y) = (0; 1)

Đề 21

Bài 1: Cho A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 b c - a c a - b a b - c      . Rút gọn biểu thức A,

biÕt a + b + c = 0.

Giải

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b c = 0 a + b = - c (a + b) = c

a b c 2ab Töông töï:

a c b 2ac

b c a 2bc

Do ñoù:

1 1 1 A = b c a a c b a b c 1 1 1 A 2bc 2ac 2ab a b c A 2abc 2abc 2abc a b c A 0 (Vì 2abc

  

   

   

   

       

     

           a + b + c = 0)

A = 0 

Bài 2: Giải phương trình:

1/ (x+1)4 + (x+3)4 = 16

2/ 1001 1003 1005 1007 4 1006 1004 1002 1000 x x x x        

Giải

1/ Đặt t = x + 2

DeThi.edu.vn