Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng giáo dục và đào tạo Tam Dương (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

Câu 1: (2,5 điểm )

a) Phân tích đa thức thành nhân tử.

b) Cho các số nguyên thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức .

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên:

b) Giải phương trình: .

Câu 3: (2,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

b) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:

.

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.

c) Kẻ . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .

====== HẾT ====== Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD…………………

2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b     

, , a b c 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 210 a b b c c a       A a b b c c a      

2 2 3 . x y xy   

2 (6 8)(6 6)(6 7) 72 x x x    

2 2 ( 2012) ( 2013) P x x    

, , x y z 3 x y z   

2 2 2 1 1 1 3 2 x x y y z z      

DH BC    H BC 

CQ PD 

DeThi.edu.vn

2

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8

NĂM HỌC 2012-2013 HDC này gồm 2 trang

Câu Nội dung chính Điểm

a) Ta có

.

0,5

0,5 0,25 1 (2,5đ) b) Đặt ; Ta có: . Do là số nguyên có tổng bằng 0 và nên

0,25

0,5

0,5

a)

Ta có: Lại có: Suy ra . Mà

Lần lượt thử ta được là nghiệm của phương

trình.

0,25

0,5 0,5

2 (2,5đ) b)

Đặt Ta có

Mà nên hoặc

PT có nghiệm là .

0,5 0,5

0,25

a) Ta có:

8100312,5 8100312,5

Vậy Min

0,5

0,5

0,25

3 (2,5đ)

b) Đặt

Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng

xảy ra

Ta có

0,25

0,25

0,5

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c b c c a           

2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) b c a c c a b c b c a c a c c a b c b c               ( )( )( ) ( )( )( ) b c a c a c b c b c a c a b         

; a b x   b c y   c a z    0 x y z    ( ) z x y   

3 3 3 3 3 3 210 ( ) 210 3 ( ) 210 x y z x y x y xy x y            70 xyz   , , x y z 70 ( 2).( 5).7 xyz      , , 2; 5;7 x y z    14. A a b b c c a       

2 2 3 x y xy   

2 2 2 ( ) 0 2 3 2 1 x y x y xy xy xy xy          

2 2 2 ( ) 0 2 3 2 3. x y x y xy xy xy xy           3 1 xy     , 3; 2; 1;0;1 x y Z xy     

  ( , ) ( 2;1);(1; 2);(2; 1);( 1;2);(1;1) x y     

2 (6 8)(6 6)(6 7) 72 x x x    

6 7 . x t   2 2 2 4 2 ( 1)( 1) 72 ( 1) 72 72 0 t t t t t t t          

4 2 2 2 2 2 2 2 9 8 72 0 ( 9) 8( 9) 0 ( 9)( 8) 0 t t t t t t t t              

2 8 0 t   2 2 2 9 0 9 3 3 t t t x       5. 3 x 

2 5 ; 3 3 x        

2 2 2 2 ( 2012) ( 2013) 4024 4048144 4026 4052169 P x x x x x x          

2 2 1 2 2 8100313 2 2 x x x            

 x 

8100312,5 P  1 . 2 x  

2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) P x x y y z z x x y y z z            

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x y y z z x y z x y z                               1 1 1 9 a b c a b c     

1 1 1 1 . 4 a b a b         

, , a b c

. a b c    1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 ; . 1 ; . 1 1 4 1 4 1 4 x x y y z z                           

DeThi.edu.vn