Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 69 (Có đáp án)

Câu 1. Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Câu 2 a) Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 và thoả mãn .

Chứng minh rằng là bình phương của một số hữu tỉ.

b) Cho , và .

Tính giá trị của biểu thức c) Cho hai số thực x, y thoả mãn ; . Tính Câu 3 a) Giải phương trình b) Chứng minh không phải là số chính phương với

c) Cho các số a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng

Câu 4. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF. c) Chứng minh Câu 5. Cho và

Tìm giá trị lớn nhất của

Câu 6. Cho , so sánh hai số x, y với ;

Câu 7. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số hữu tỉ và thì bằng bình phương của một số hữu tỉ.

Câu 8. Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thoả mãn . Chứng minh rằng

4 3 2

4 3 2 2 3 3 2 2 6 3 x x x x P x x x x         

0 a b c   

2 2 2 1 1 1 M a b c   

1 a b c    2 2 2 1 a b c    x y z a b c  

xy yz xz  

3 2 3 10 x xy   3 2 3 30 y x y   2 2 x y 

    3 3 3 3 3 2 0 x x x     

    1 2 3 D n n n n     * n ¥

3 2 a b c    2 2 2 3 4 a b c   

2 DE DF AM  

2 16 . FDC AMC FNA S S S      3 3 2 2 3 4 4 0 a b a b a b        0 ab 

1 1 Q a b  

0 a b   2 1 1

a x a a    2 1 1

b y a b   

1 ab bc ca        2 2 2 1 1 1 a b c   

3 a b c   

2 2 2 5 a b c   

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Câu 2

b) Ta có (vì )

Do đó (vì )

Suy ra Câu 4 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF. c) Chứng minh

a) Ta có ; suy ra

Vậy b) Tứ giác ANDM là hình bình hành. Ta có

; suy ra

c) Ta có:

(1)

Mặt khác

Từ (1) suy ra

N

F

E

D M C B

A

x y z x y z x y z a b c a b c           1 a b c   

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z x y z a b c a b c             

2 2 2 1 a b c   

  2 2 2 2 2 2 2 0 x y z xy yz xz x y z xy yz xz            

2 DE DF AM  

2 16 . FDC AMC FNA S S S 

DF CD AM MC  DE BD AM BM  2 DF DE CD BD CD BD BC AM AM MC BM BM BM       

2 DE DF AM  

NE AE ND AB  NF AF NF AF MD MD AE FD FC ND AC MC MB AB       NE NF NE NF ND ND   

2 ~ AMC

FDC

S AM AMC FDC S FD         

2 ~ FNA

FDC

S FN FNA FDC S FD         

2 2 4 4 1 . . 16

AMC FNA

FDC FDC

S S AM FN S S FD DF

                           2 2 2 DE DF AM DF AM DE ND DE DF FN DF FN DE               DF FN NE DF DE DE DF DE DF         

2 16 . FDC AMC FNA S S S 

DeThi.edu.vn

Câu 5 Ta có

(vì )

Ta có , do đó Vậy Câu 8 Theo đề bài ta có

Cộng cả hai vế với , ta có

(vì ) Suy ra

    3 3 2 2 3 4 4 0 a b a b a b       

  3 2 3 2 3 3 1 3 3 1 2 0 a a a b b b a b          

       3 3 1 1 1 1 0 a b a b         

          2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 a b a a b b a b                          2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 a b a a b b               

2 0 a b           2 2 1 1 1 1 1 0 a a b b       

   

2 1 1 2 2 2 2 2 2 a b Q a b ab a a a a a a           

 

2 2 1 0 2 1 a a a      2 Q 

2 1 MaxQ a b   

    2 2 2 0 a b c    

8 4 4 2 4 2 2 0 c b bc a ac ab abc              8 4 2 0 a b c ab bc ca abc         

2 2 2 a b c    

2 2 2 2 2 2 2 4 5 a b c a b c abc a b c abc              0 abc 

2 2 2 5 a b c   

DeThi.edu.vn