Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 66 (Có đáp án)

1

Câu 1

a) Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1

không phải là số chính phương.

b) Cho = 21 + 22 + 23 + … + 230. Chứng minh rằng: chia hết cho 21.

Câu 2

a) Rút gọn biểu thức sau: .

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

Câu 3

a) Chứng minh:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016

Câu 4

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho góc IOM = 90O (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông).

a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.

b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và góc BKM = góc BCO.

c) Chứng minh .

Câu 5

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5. Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab



B B

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

3 2 3 x 2x 3x 2 y .    

2 2 5 (3 ) 3 5 a b a b ab     

2 2 2 1 1 1 CD AM AN  



DeThi.edu.vn

2

-----------------------Hết -------------------------

Họ và tên thí sinh: …………………………………………………. Số báo danh ..............

Câu 1: (4,0 điểm)

a. 2.0đ

n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n - 1)(n + 1) +2(n + 1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) Với n N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2

Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2

Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2

n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 không phải là một số chính phương

0.5

0.5

0.5

0.5

b. 2.0đ

B = 21 + 22 + 23 + … + 230

Ta có: B = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + … + (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2) = 3.( 2 + 23 +…+ 229) suy ra B M 3 (1) Ta có: B = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (228 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22) = 7 (2 + 24 + … + 228) suy ra B M 7 (2) Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra : B 3.7 hay B  21

0.75

0.75

0.5

Câu 2: (4,0 điểm)

a) ĐK: 0.25

Ta có 0.25

0.25

0.5



0 2 x x

   

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2( 4) 4(2 ) (2 ) x x x x x x x x x x                  

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 2) 4 ( 1)( 2) 2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4) x x x x x x x x x x x x x x x x x                                       

DeThi.edu.vn

3

0.5

Vậy với . 0.25

b) Ta có (1) 0.5

(2) 0.5

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được

x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0)

0.5

KL 0.25

Câu 3: (4,0 điểm)

a a2 + 5b2 – (3a + b) 3ab – 5

2a2 + 10b2 – 6a -2b – 6ab +10 0

a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + 9 + b2 - 2b +1 0

(a – 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 0 .

Dấu « = » xảy ra khi a = 3 ; b = 1

0,5

0,5

0,5

0,5

b Ta có: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016

= x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 + y2 - 6y + 9 + 2006

= (x + y + 1)2 + (y - 3)2 + 2006

Nhận thấy với mọi x,y ta có .

Suy ra A 2006

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2006 đạt được khi

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 4: (6,0 điểm)

E

K

N

M

I

O

D C

B A

a) Xét và có:

3 2 2 2

2 2 2 2 4 4 4 1 ( 4)( 1) 1 . 2( 4) 2 ( 4) 2 x x x x x x x x x x x x x x            

1 A 2 x

x   0

2

x

x

   

2 3 3 2 3 7 y x 2x 3x 2 2 x 0 x y 4 8                

2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 4 16                  



 

 

 

2 2 ( 1) 0;( 3) 0 x y y     



4, 3 x y  

4, 3 x y  

BIO  CMO 

DeThi.edu.vn