Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 64 (Có đáp án)

Câu 1.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có chia hết cho 30;

b) Giải phương trình

Câu 2

a) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c là độ dài ba cạnh.

Chứng minh .

Câu 3

Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h và 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?

Câu 4

Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:

AIM và ABI đồng dạng.

Câu 5. (1,5 điểm)

Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho , F là

trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính diện tích AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm2.

--------- Hết ---------

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

5 5 x y xy 

  2 2 2 x y z y x z    

1 a b       2 2 2 A a a b b b a    

2 a b c p   

1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c              

2 AM AI BN BI      

1 BE BC 3 

DeThi.edu.vn

Câu 1. (2,5 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30;

Giải phương trình x2 + y2 + z2 = xy + yz

a) x5y – xy5 = xy(x4 – y4) = xy(x4 – 1 – y4 + 1)

= xy(x4 – 1) – xy(y4 – 1)

Ta có x(x4 – 1) = x(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) chia hết cho 2, 3 và 5

=> xy(x4 – 1) 30 tương tự xy(y4 – 1) 30

=> x5y – xy5 30

0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ

b) x2 + y2 + z2 = xy + yz <=> 2x2 + 2y2 +2z2 – 2xy – 2yz = 0

<=> (x – y)2 + (y – z)2 + x2 + z2 = 0

<=> x – y = y – z = x = z = 0

<=> x = y = z = 0

0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ

Câu 2. (2 điểm)

Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

A = a(a2 + 2b) + b(b2 – b)

Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c là độ dài ba cạnh.

Chứng minh .

a) a + b = 1 => a = + x, b = + y với x + y = 0

ta có: A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a) = a3 + b3 + ab = a2 + b2

=

=> GTNN(A) = <=> x = y = 0 <=> a = b =

0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ

M M

M

a b c p 2   

1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c              

1 2

1 2

2 2

2 2 1 1 1 1 x y x y 2 2 2 2                   

1 2

1 2

DeThi.edu.vn

Ta có:

Tương tự ;

Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều

<=>

0,5 đ

0,25 đ

0,5 đ

Câu 3. (1,5 điểm)

Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h và 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?

Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x > 0

=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)

Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)

=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)

Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km)

Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)

Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:

50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x

<=> x = (h) = 50 phút (TMĐK)

Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy

0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ

1 1 4 p c p b a    

1 1 4 p c p a b    

1 1 4 p b p a c    

1 1 1 4 4 4 2 p c p b p a a b c              

1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c              

5 6

DeThi.edu.vn