Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 61 (Có đáp án)

Bài 1 a) Phân tích đa thức thành nhân tử b) Chứng minh rằng nếu và thì Bài 2 a) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng là một số chính phương b) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện

và . Tính giá trị của

Bài 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của với

c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có chia hết cho 30 Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC (M khác A và C). Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E, EM cắt BC tại I. a) Chứng minh b) Chứng minh c) Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại B, đường thẳng vuông góc với CD tại C, chúng cắt nhau tại K. Chứng minh MK luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. Bài 5. a) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác.

Chứng minh

b) Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c là độ dài ba cạnh.

Chứng minh

c) Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

5 1 x x  

4 4 4 4 4 a b c d abcd     , , , 0 a b c d  a b c d   

   

2 2 4 M x x y x y z x z y z      

2, x y z   

2 2 2 18 x y z    1 xyz  1 1 1 1 1 1 S xy z yz x zx y         

2 2 2 3 4 8 2 18 A x y xy x y      

2

2 2 2016 x x B x    0 x 

5 5 x y xy 

. . EA EB ED EC 

2 . . BM BD CM CA BC  

ab bc ac a b c a b c a b c a b c           

2 a b c p   

1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c              

4 9 16 a b c P b c a a c b a b c       

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Bài 2 b)

Ta có

Tương tự và

Suy ra

Ta có

Suy ra

Bài 3 a) Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1 A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 1 Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3 Bài 5 Vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0

ta có: x + y + z = a + b + c;

Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng min

   1 1 1 1 xy z xy x y x y           1 1 1 yz x y z        1 1 1 zx y z x    

             1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z S x y y z z x x y z                

   1 1 1 xyz xy yz zx x y z xy yz zx            

    2 2 2 2 2 7 x y z x y z xy yz zx xy yz zx            

1 7 S 



; ; 2 2 2 y z x z x y a b c      

( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 4 4 ab bc ac y z x z x z x y x y y z a b c a b c a b c z x y                 

 

1 1 1 ( 3 3 3 ) 3( ) (2 2 2 ) 4 4 2

1 3( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2

1 3( ) 4

xy yz xz xy yz xz x y z x y z z x y z x y

y x z x y z z x y x y z z x z y y x

x y z x y z x y z

                               

        

DeThi.edu.vn