Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 52 (Có đáp án)

Bài 1. Cho biểu thức

a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn và Bài 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử b) Cho với . Chứng minh A là số chính phương

Bài 3 a) Cho a; b; c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn Bài 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông). a) Chứng minh và tính diện tích tứ giác BIOM theo a. b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và .

c) Chứng minh

Bài 5. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Các đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Tam giác đó là tam giác gì khi biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất?

2 2 2 2 2 2 4 1 1 : 2 xy A y x y x y xy x            

2 2 3 2 2 1 0 x y x y     2 A 

4 2 2016 2015 2016 x x x    11...155...56 A  * n¥

2 2 2 2) ( c b a c b a     

2 2 2

2 2 2 2 2 2 a b c P a bc b ac c ab       2 2 2 – – 3 – 2 4 0 x y z xy y z    

· 0 90 IOM 

BIO CMO  

· · BKM BCO 

2 2 2 1 1 1 CD AM AN  

 

2

2 2 2 a b c

a b c h h h    

(n - 1 chữ số 5) (n chữ số 1)

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Câu 1 a) Rút gọn b) Ta có

( ) Thay vào ta được:

Với , ta có (loại)

Với , ta có (thoả mãn)

Vậy x, y cần tìm là và

Bài 2 a)

b) Ta có

là số chính phương. Bài 3 a) Ta có

, tương tự:

;

b) Ta có

2 ( ) A x x y  

2 2

2 2 2

2 2 2

2

3 2 2 1 0

2 2 2 2 2 1 0

(2 2 ) ( 2 ) (2 2 ) 1 0

2 ( ) ( ) 2( ) 1 0

x y x y

x xy x xy y x y

x x y x y x y

   

       

       

      

2

2

2

( ) 2( ) 1 2

( 1) 2

2 ( 1) 2

A x y x y

A x y

x y

     

    

    

1 0 x y    ; 0 x y y  

1 y x   2 ( ) A x x y  

     2

1 2 1 2 2 1 0 1 2 1 0 1 2

x x x x x x x x

x

               1 x  0 y  1 2 x  3 2 y 

1 2 x  3 2 y 

   4 2 2 2 2016 2015 2016 1 2016 x x x x x x x        

{ { { { { { 1 2 ( / 1) ( / 1)

2

2 2 2

( 1) 0 2

( 1) / 3

11...155...56 11...155...5 1 11...1 4.11...1 1

10...02 10 1 10 1 10 4.10 4 (10 2) 4. 1 (33...34) 9 9 9 9 9

n n n n n c s n c s

n n n n n

n cs

n c s

A







    

                   1 2 3

14 2 43

 

2 2 2 2 0 a b c a b c ab bc ac         

       2 2 2 a bc a bc ac ab a a c b a c a c a b            

) )( ( 2

2

2

2

2

2

c a b a

a bc ac ab a

a bc a

a

       

  

2 2

2 2 b b b ac b a b c       

2 2

2 2 c c c ac c a c b    

2 2 2 ( )( )( ) 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) a b c a b a c b c P a b a c a b b c a c b c a b a c b c                 

DeThi.edu.vn

Cách 1

Cách 2 Nhân cả hai vế với 4, đưa về dạng Có các giá trị x, y, z là (1;2;1) Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông). a) Chứng minh và tính diện tích tứ giác BIOM theo a. b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và .

c) Chứng minh

a) Xét và có

(cùng phụ với ) Do đó (cạnh huyền-góc nhọn), suy ra mà

hay

b) Từ

Vì nên tứ giác IMNB là hình thang

Vì nên vuông cân tại O do đó

c) Vì ( )

2 1

N

K

M

I

O

D

C B

A

2 2 2 – – 3 – 2 4 0 x y z xy y z    

   

2

2 2 3 1 2 0 2 4 y x z y             

      2 2 2 2 4 1 3 2 0 x y z y      

· 0 90 IOM 

BIO CMO  

· · BKM BCO 

2 2 2 1 1 1 CD AM AN  

BIO  CMO  · · 0 45 IBO MCO   OB OC  µ ¶

1 2 O O  ·BOM

BIO CMO   BIO CMO S S 

BMOI BOI BMO S S S   2 1 1 4 4 BMOI CMO BMO BOC ABCD S S S S S a     

BIO CMO BI CM    

/ / / / BM AM AI AM CN AB IM BN BC MK AI MK     

OM OI  IOM  · · · 0 45 BKM IMO BCO   

2 2

2 2 / / AB AM AD AM AD NC …