Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 50 (Có đáp án)

Bài 1

a) Cho ; ; . Chứng minh rằng

b) Cho ; . Tính giá trị của biểu thức

Bài 2 a) Giải phương trình b) Chứng minh rằng: Nếu và ( ) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40 Bài 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Giải phương trình

Bài 4. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E bất kỳ trên BC, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho . K là giao điểm của FE và BD, O là giao điểm của AC và BD; DE cắt BF tại H; M là trung điểm của EF. a) Chứng minh b) Chứng minh tứ giác OKMC là hình chữ nhật c) Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi

M, N, S lần lượt là điểm đối xứng của H qua BC, AC, AB. Tính

Bài tập tương tự bài 3b). Giải phương trình

0 a b c    0 x y z    0 a b c x y z    2 2 2 0 ax by cz   

2 2 2

2 b c a x bc       

2 2

2 2 a b c y

b c a

  

 

x y xy  

6 3 7 8 0 x x    2 1 n  3 1 n  n N 

2 2 2 2 4 2 5 A x y xy x y      

 

2 2

2 9 40 3

x x

x   

CF CE 

DH BF 

AM BN CS AD BE CF  

 

2 2

2 4 5 2

x x

x   

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Bài 2 b) Do là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn. Vì là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, suy ra (1) Do và đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng 1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 Mà , do đó và khi chia cho 5 đều dư 1. Suy ra và suy ra (2) Từ (1) và (2) suy ra hay n chia hết cho 40 Bài 3 a) b) ĐKXĐ:

Đặt , ta có phương trình

Bài 4

a) Ta có vuông cân tại C nên suy ra . Vì mà nên Xét có hai đường cao BC và FK cắt nhau tại E nên E là trực tâm của , do đó . b) Ta có nên tứ giác OKMC là hình chữ nhật c) Gọi P là giao điểm của OM và HC, ta có , nên OM là đường trung trực của HC nên P là trung điểm của HC. Ta có OP là đường trung bình của tam giác AHC nên .

1 1

E

O

M P

H

K

F D C

B A

2 1 n  2 1 n  3 1 n  3 1 n  3 8 8 n n  M M 2 1 n  3 1 n 

   2 1 3 1 5 2 n n n      2 1 n  3 1 n 

2 5 nM 3 5 nM 5 nM

  5;8 n BCNN M

    2 2 2 2 2 2 4 2 5 1 3 5 5 A x y xy x y y x x             

3 x 

 

2 2

2 9 40 3

x x

x   

 

2 2

2 3 9 3 2 . 40 2 . 3 3 3

x x x x x x x x x        

2 2 3 6 40 0 3 3 x x x x x             

2 2 2 6 40 0 3 3 x x x x            

2

3 x t x      2 6 40 0 10 4 0 t t t t       

CEF  µ µ 0 1 1 45 F C   / / FK AC

AC BD  / / FK AC FK DB  BDF  BDF  DH BF  · · · 0 90 COK OKM KMC   

HO OC  CM HM 

/ / OM AH

DeThi.edu.vn

Lại có tứ giác AKMO là hình bình hành nên . Do đó A, K, H thẳng hàng (Theo tiên đề Ơ-Clit) Bài 5

Ta có

mà ; ; , do đó

; ;

Do đó

E

M

N

H

S

F

D C B

A

/ / OM AK

1 1 1 AM BN CS AD DM BE EN CF FS DM EN FS AD BE CF AD BE CF AD BE CF           

3 AM BN CS DM EN FS AD BE CF AD BE CF       DM HD  NE HE  FH SF 

3 AM BN CS DH HE HF AD BE CF AD BE CF      

1 . 2 1 . 2

BHC

ABC

HD BC S HD S AD AH BC  

1 . 2 1 . 2

AHC

ABC

HE AC S HE S BE BE AC  

1 . 2

1 . 2

AHB

ABC

FH AB S FH S CF CF AB  

1 BHC AHC AHB ABC

ABC ABC

S S S S DH HE HF AD BE CF S S        

3 1 3 4 AM BN CS DH HE HF AD BE CF AD BE CF        

DeThi.edu.vn