Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 48 (Có đáp án)

Bài 1. Cho biểu thức

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để Bài 2 a) Chứng minh rằng: Với mọi nếu a và b không chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 b) Cho

Chứng minh rằng Bài 3 a) b) với x, y nguyên dương Bài 4. Cho hình thang ABCD ( ), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BCtại F. a) Chứng minh

b) Chứng minh

c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF

Bài 5. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất

Bài 6. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn và

thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng

2

2 2 2 2 3 2 8 3 21 2 8 : 1 4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3 x x x x P x x x x x x x                     

1 2 x 

0 P 

a¢ 6 6 a b 

        2 2 2 2 2 2 4. a b b c c a a b c ab ac bc           

a b c  

   2 2 8 1 4 1 9 x x x   

2 2 2 4 10 0 x y x y     

/ / AB CD

AOD BOC S S 

EF CD AB

2 1 1  

, , 0 a b c  1 1 2 a c b   2 2 a b c b P a b c b      

2016 a b c    1 1 1 1 2016 a b c    2016

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Bài 2 a) Chứng minh rằng: Với mọi nếu a và b không chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Vì a không chia hết cho 3 thì a có dạng hoặc Nếu chia 3 dư 1 Nếu chia 3 dư 1 Tương tự với b, từ đó suy ra Ta có

Vì , nên chia hết cho 9

Bài 4 Cho hình thang ABCD ( ), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BCtại F. a) Chứng minh

b) Chứng minh

c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF

a) HS tự làm

b) Vì . Mặt khác

c) Dụng trung tuyến . Dựng , nối K với N. KN là đường thẳng phải dựng. Chứng minh Ta có (1) Gọi giao điểm của EM và KN là I thì (chứng minh phần a) (2) Từ (1) và (2) suy ra Vậy .

I

N

M

K

O

F E

D C

B A

a¢ 6 6 a b 

3 1 a k   3 2 a k  

2 2 3 1 9 6 1 a k a k k     

2 2 3 2 9 12 4 a k a k k      

2 2 3 a b  M         2 2 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b a b a a b b a b a b a b                     

2 2 3 a b  M  

2 2 2 2 2 3 3 a b a b        M 6 6 a b 

/ / AB CD

AOD BOC S S 

EF CD AB

2 1 1  

// EO DC  AC AO DC

EO  // AB CD AB AO DC OC  

AB AO AB AO EO AB AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC          

 EF AB DC EF DC AB

DC AB DC AB

AB DC EF 2 1 1 2 . 2        

  EM M DF 

  // EN MK N DF 

EDM EMF S S 

IKE IMN S S 

EDNI IMN KIMF IKE S S S S    EDNI IKE KIMF IMN S S S S    

EDNK KNF S S 

DeThi.edu.vn