Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 47 (Có đáp án)

Bài 1. Cho biểu thức

a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M Bài 2 a) Chứng minh rằng với thì chia hết cho 5

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình Bài 3

a) Giải phương trình

b) Tìm số nguyên dương n để chia hết cho Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc BC, điểm F thuộc AD sao cho . Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N. a) Chứng minh rằng b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất? Bài 5. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 4 4 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x x M x x x x x                  

n ¢    2 3 3 1 2 2 n n n n     

3 4 9 7 xy x y   

1 2

1 5 2 1

1 4 2 2



     

 

x

x x x

x x

5 1 n  3 1 n 

CE AF 

2 . CM DN a  · 0 90 MKN 

2 2 2 a b c abc   

2 2 2 a b c P a bc b ca c ab      

DeThi.edu.vn

a) Ta có

; ; suy ra

b) Ta có

Do đó (c.g.c) suy ra ;

c) MN nhỏ nhất nhỏ nhất Ta có

nhỏ nhất bằng khi theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Bài 5. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có

Do đó

(vì )

Vậy

K

N M

F

E

D C

B A

CM CE AB BE  CE AF BE AD  AF AB AD ND  2 2 . CM DN AB a  

CM AB CM AD AB CN CB CN   

~ ADN MCB   · · CMB DAN  · · · · 0 0 90 90 AND DAN AND CMB      · 0 90 NKM   CM ND         2 2 2 2 2 4 . 4 4 CM DN CM DN CM DN CM DN a a        

 

2 CM DN  2 4a , CM DN a E F   

2 2 2 a b c abc   

2 2 2 a b c P a bc b ca c ab      

2

1 1 4 a a a bc a bc         

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 4 4 a b c a b c a b c ab bc ac P a bc b ca c ab a bc b ca c ab abc                              

2 2 2

2 2 2

1 1 2 2 a b c a b c P a bc b ca c ab abc                

2 2 2 ab bc ca a b c     

1 3 2 maxP a b c     

DeThi.edu.vn

a) Ta có

; ; suy ra

b) Ta có

Do đó (c.g.c) suy ra ;

c) MN nhỏ nhất nhỏ nhất Ta có

nhỏ nhất bằng khi theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Bài 5. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có

Do đó

(vì )

Vậy

K

N M

F

E

D C

B A

CM CE AB BE  CE AF BE AD  AF AB AD ND  2 2 . CM DN AB a  

CM AB CM AD AB CN CB CN   

~ ADN MCB   · · CMB DAN  · · · · 0 0 90 90 AND DAN AND CMB      · 0 90 NKM   CM ND         2 2 2 2 2 4 . 4 4 CM DN CM DN CM DN CM DN a a        

 

2 CM DN  2 4a , CM DN a E F   

2 2 2 a b c abc   

2 2 2 a b c P a bc b ca c ab      

2

1 1 4 a a a bc a bc         

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 4 4 a b c a b c a b c ab bc ac P a bc b ca c ab a bc b ca c ab abc                              

2 2 2

2 2 2

1 1 2 2 a b c a b c P a bc b ca c ab abc                

2 2 2 ab bc ca a b c     

1 3 2 maxP a b c     

DeThi.edu.vn