Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 44 (Có đáp án)

Bài 1. Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức P b) Với thì P không nhận những giá trị nào? c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên tố. Bài 2

a) Chứng minh rằng nếu với ; ; ; thì

b) Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn . Chứng minh là số chính phương. Bài 3

a) Chứng minh rằng: luôn luôn là một số tự nhiên với

mọi x. b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử Bài 4. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. a) Chứng minh và tứ giác EGFK là hình thoi. b) Chứng minh đồng dạng với và c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

3 2 2 3 2 3 3 1 6 : 3 9 27 9 3 3 9 27 x x x P x x x x x x x x                       

0 x 

   

2 2

1 1 x yz y xz x yz y xz      x y  0 xyz  1 yz  1 xz 

  xy xz yz xyz x y z     

2 2 2 3 m m n n      3 1 m n  

5 4 3 2 7 5 120 12 24 12 5 x x x x x P     

      xy x y yz y z zx z x     

AE AF  AKF  CAF  2 . AF FK FC 

1 a b c   

2 2 2 a b c b c c a a b     

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Bài 2

a) Ta có

Vì b) Ta có

(*)

Gọi d là ƯCLN , suy ra ;

Từ (*) suy ra Vậy và nguyên tố cùng nhau nên là số chính phương. Bài 4

a) (g.c.g) suy ra Tam giác AEF cân tại A mà AI là trung tuyến nên hay (c.g.c) nên mà (gt) nên tứ giác EGFK là hình bình hành mà nên tứ giác EGFK là hình thoi. b) Xét và có chung

Do đó

c)

2

1

G

I

K

F

E

D

C B

A

   

2 2

1 1 x yz y xz x yz y xz     

     2 2

2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 x yz y xz y xz x yz

x y x xy y z xy z xy xy z x z x yz

    

       

2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0 x y x xy y z xy z xy xy z x z x yz                2 2 2 2 0 xy x y xyz x yz xz y z x y         

      0 x y xy xyz x y z z x y                   0 0 x y x y xy xyz x y z z x y xy xz yz xyz x y z                 

       2 2 2 2 2 3 3 3 1 m m n n m n m n m n m m n m n m                     ;3 3 1 m n m n    m n d M 3 3 1 m n d  M

3 3 3 3 1 6 1 m n m n d m d        M M

2 6 1 1 m d m d m d d d      M M M M m n  3 3 1 m n     3 1 m n  

ABF ADF   AE AF 

AI EF  GI EF  AEG AFG   GE GF  / / GE GF GI EF  AKF  CAF  µ F · · 0 45 CAF ACF  

2 ~ . AF KF AKF CAF AF CF KF CF AF      

2 EKC P EC CK KE DK CK KF CD CD CD         

DeThi.edu.vn