Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 43 (Có đáp án)

Bài 1 a) Cho a, b là hai số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng chia hết cho 8 b) Cho a, b, c là các số thực khác nhau.

Chứng minh rằng

Bài 2 a) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. b) Giải phương trình Bài 3. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng chia hết cho 24. Bài 4. Tam giác ABC có , BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng: a) M là trung điểm của đoạn thẳng BC

b)

c) Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC Bài 5. Cho ; ; a và b thỏa mãn ; . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

2 2 a b 

        

2 2 2 b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a                 

      3 3 3 5 3 2 4 3 1 x x x     

2 1 p 

BA BC 

1 DA BK DE DF 

0 a  0 b  2 3 6 a b   2 4 a b  

2 2 A a a b   

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Bài 1 a) Ta có

Vì là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8, tương tự chia hết cho 8. Vậy chia hết cho 8 b) Ta có:

Bài 2 a) Gọi a, b, c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: . Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5. Giả sử được vì b, c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:

và (loại)

Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7 b) Đặt ; , suy ra Bài 3 Ta có chia hết cho 3 mà p không chia hết cho 3 (p nguyên tố) nên chia hết cho 3. Vì p lẻ nên ( ) nên Vậy chia hết cho 24. Bài 4

a) Xét có BF vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên BF là trung tuyến, do đó F là trung điểm của KC suy ra Xét có và nên M là trung điểm của BC.

b) Vì (*)

M

K

G

F

E D C

B

A

        2 2 1 1 1 1 1 1 a b a a b b         

   1 1 a a  

   1 1 b b  

2 2 a b 

        

1 1 1 1 1 1 b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c b c a                       

        

1 1 1 1 1 1 b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b a b b c b c c a c a                       

        

2 2 2 b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a                 

  5 abc a b c   

5 a       5 5 5 5 1 1 6 bc b c bc b c b c           

  



    

 

 

7

2

6 1

1 1

c

b

c

b

  



    

 

 

4

3

3 1

2 1

c

b

c

b

5 3 x a   2 4 x b    

3 3 3 a b a b   

   1 1 p p p  

   1 1 p p  

2 1 p k   k ¥      1 1 4 1 8 p p k k     M

2 1 p 

BKC 

/ / DF AB ABC  AD DC  / / DM AB

/ / EA AB EA DE AB DF DF AB DE DF DE DF      

DeThi.edu.vn

Ta có ; nên từ (*) suy ra

(**)

c) Từ

Từ (**) có (vì ) suy ra

Bài 5 Vì mà nên , do đó Vậy

Từ

Do đó

Vậy

Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB = c, AC = b và BC= a. Các phân giác AD, BE và CF cắt nhau tại O. Tính độ dài đoạn thẳng AE theo a, b, c.

Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông khi .

BE là phân giác nên

AO là phân giác của ABE nên:

.

Tương tự: .

Từ được

2(c+a)(b+a) = (a+b+c)2 2cb + 2ca + 2ab + 2a2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a2 = b2 + c2. Vậy ABC vuông tại A (Theo pitago đảo)

AB BK AK   2 AK DF 

2 1 AD BK AK DF BK DF DF BK DF BK DE DF DF DF DF         

/ / 1 GB BK GB GD BK DF DB BK DF BK GD DF GD DF GD DF        

1 DC BK DE DF  DA DC  / / DC DB GE BC DE DG  

0 b  2 4 a b   2 a  2 2 0 A a a b     0 2; 0 maxA a b    

2 3 6 a b   2 2 3 b a   

2 2 2 2 22 22 2 2 3 3 9 9 A a a a a               22 2 2 ; 9 3 3 minA a b    

OB.OC 1 = BE.CF 2

EA BA EA BA EC BC EA EC BA BC     

. . BA b c EA AC BA BC c a     

OB AB BO AB c c a bc OE AE BE AB AE a b c c c a

           OC b a OF a b c     OB.OC 1 = BE.CF 2

2 ( )( ) 1 ( ) 2 c a b a a b c     

A

B C

E F

O

DeThi.edu.vn