Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 42 (Có đáp án)

Bài 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử .

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức có giá trị

là một số nguyên. Bài 2 a) Cho . Chứng minh rằng là một số chính phương

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số tối giản

Bài 3

a) Cho ; . Tìm giá trị nhỏ nhất

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình Bài 4 Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ đường thẳng tùy ý cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh: a)

b)

c) Khi đường thẳng d thay đổi thì tích có giá trị không đổi Bài 5. Cho ba số thực a, b, c không âm sao cho . Chứng minh . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

10 5 1 a a  

2 3

3 2 6 n n n A   

1 2 3 ... na n    1 n n a a  

2

2 10 9 4 20 20 9 n n n n    

0 x  0 y 

2 2

2 2 3 8 10 x y x y P y x y x                    2 25 6 x y y   

2 . AE EK EG  1 1 1 AE AK AG  

. BK DG

1 a b c    16 b c abc  

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Bài 1 a)

b) Ta có

Vì là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 Bài 2 a) Ta có

là số chính phương

b) Gọi d là ƯCLN của và

là số tự nhiên lẻ.

Mặt khác mà d lẻ nên . Vậy phân số trên tối giản. Bài 3

a)

Đặt , khi đó ta có

Nếu x, y cùng dấu nên ; Vậy (1)

Nếu x, y trái dấu thì ; ;

(2) Từ (1) và (2) suy ra với mọi ; thì Vậy b)

Từ đó tìm được x, y. Bài 4

G

K

E

D C

B A

     10 5 10 9 8 9 8 7 7 6 5 6 1 1 a a a a a a a a a a a a            

         10 5 8 2 7 2 5 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a               

   10 5 2 8 7 5 4 3 1 1 1 a a a a a a a a a a          

     2 2 3 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 6 6 6 6

n n n n n n n n n n n n A

           

   1 2 n n n  

1 1 2 3 ... 1 na n n     

     

2 1

1 2 1 2 3 ... 1 2. 1 1 2 n n

n n a a n n n n 

           

2 10 9 4 n n   2 20 20 9 n n  

2 2

2 2 10 9 4 20 18 8 2 1 20 20 9 20 20 9

n n d n n d n d d n n d n n d

                      

M M M M M

2 2 2 1 4 4 1 5 5 5 4 n d n n d n n d d         M M M M 1 d 

2 2 2

2 2 3 8 10 3 2 8 10 x y x y x y x y P y x y x y x y x

                                           x y t y x        2 2 3 2 8 10 3 8 4 3 2 2 P t t t t t t          

2 2 0 t t       3 2 0 3 2 2 0 0 t t t P        

0 2 P t x y    

0 x y  0 0 3 2 0 y t t x      2 0 t  

   3 2 2 0 0 t t P      

0 x  0 y  0 2 P t x y    

0 minP x y      2 25 6 x y y   

 

2 2

2 2

6 9 16

3 16

y y x

x y

    

   

DeThi.edu.vn

a) Vì (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

b) Ta có (3)

(4)

c) Ta có và nhân từng vế của đẳng thức trên ta được

không đổi

Bài 5. Ta có , do đó ta có:

Mà nên ( nên )

Lại có

Dấu đẳng thức xảy ra

/ / AE BE AB DG EG ED  

/ / BE EK BK AD ED AE  

2 . AE EK AE EG EK EG AE   

/ / AE DE AE DE AE DE AD BK EK EB AE EK DE EB AK BD        

/ / AE BE AE BE AE BE AB DG EG ED AE EG BE ED AG BD        

1 1 1 1 1 1 1 AE AE DE BE DE BE AE AK EG BD BD BD AK AG AE AK AG                  BK AB KC CG  KC GC AD DG 

. . BK AB BK DG AD AD AD DG   

 

2 4 a b ab  

      2 2 4 a b c a b c a b c           

1 a b c       

2 1 4 4 a b c b c a b c       , , 0 a b c  0 b c  

 

2 4 16 b c bc b c abc     

1 1 , 4 2

a b c b c a b c           

DeThi.edu.vn