Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 39 (Có đáp án)

Bài 1 a) Phân tích đa thức

b) Cho ; . Chứng minh

Bài 2

a) Giải phương trình

b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn . Bài 3. Cho tam giác có . Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là .

Chứng minh rằng:

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh và b) Cho và . Tính ? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì có giá trị không đổi. d) Kẻ . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh . Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    3 3 2 2 a a b b a b   

1 1 1 2 a b c    2 2 2 1 1 1 2 a b c    a b c abc   

 

2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4 x x x x x x x x x                             

2 2 3 2 0 y xy x    

ABC , , BC a CA b AB c   

, , a b c l l l 1 1 1 1 1 1

a b c l l l a b c     

. . EA EB ED EC  · · EAD ECB  · 0 120 BMC  2 36 AED S cm  EBC S

. . BM BD CM CA 

DH BC    H BC 

CQ PD 

2 2 2 3 a b c   

2 2 2

1 1 1 a b c P ab bc bc ca ca ab         

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Câu 1 a)

b) HS tự làm Bài 2

a) ĐK:

b)

(*) VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.

Bài 3

Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M. Ta có (hai góc ở vị trí đồng vị) (hai góc ở vị trí so le trong) Mà nên hay cân tại A, suy ra

A

B C

M

D

    3 3 2 2 a a b b a b   

    3 3 a a b b b a b a              

        3 3 3 3 3 3 a a b b a b b b a b a a b a                           3 3 3 3 3 3 a a b ab a b ab b a b ab a b a b          

             3 2 3 a b a b ab a b a b a b a b a b ab a b a b                  

 

2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4 x x x x x x x x x                              

0 x 

 

2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 x x x x x x x x x

                                     

 

2

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 2 4 x x x x x x x x x                         

 

2 2 2 2 2 1 1 8 2 8 4 x x x x x                     

2 4 16 x   

2 2 3 2 0 y xy x    

2 2 2 2 3 2 x xy y x x      

     2 1 2 x y x x     

1 0 1 1 2 0 2 2 x x y x x y              

· · BAD AMC  · · DAC ACM  · · BAD DAC  · · AMC ACM  ACM  AM AC b  

DeThi.edu.vn

Do nên

Mà (1)

Tương tự ta có: (2); (3)

Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm Bài 4 Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC. Gọi I là hình chiếu của của H lên AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh: a) b) Bài 5

Với ; , ta có

Ta có

Vậy

/ / AD CM AD BA c CM BM b c   

1 1 1 1 2 2 2 a

c AD CM AM AC b b c b l b c                1 1 1 1 2 bl c a        

1 1 1 1 2 al b c        

~ BIC AOH   AO BI 

, , a b c¡ , , 0 x y z   

2 2 2 2 a b c a b c x y z x y z       

 

2 2 2 2

1 1 1 3 2 2 2 a b c a b c P ab bc bc ca ca ab ab ac bc                     

2 2

2 2 2 2 1 2 2 2 a b c a b c P a b c ab ac bc a b c

             

1 1 minP a b c    

DeThi.edu.vn