Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 37 (Có đáp án)

Câu 1 a) Cho và . Tính b) Cho là các số tự nhiên có tổng bằng . Chứng minh rằng: chia hết cho 3. Câu 2

a) Cho ; ; . Chứng minh

b) Giải phương trình Câu 3. Giải phương trình nghiệm nguyên Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn ( ). Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a) Chứng minh . b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh và .

c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh

Câu 5. Cho thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 2 3 5 a ab   3 2 3 10 b a b   2 2 S a b  

1 2 2016 , ,... a a a 2017 2016

3 3 3 1 2 2016 ... a a a   

0 a b c    0 x y z    0 a b c x y z    2 2 2 0 ax by cz   

    2 12 7 3 2 2 1 3 x x x    

2 2 4 8 38 6 x x y   

AB AC 

~ ABC EFC  

NC ND  HI HK 

6 AH BH CH HE HF HG   

, , , , 0 a b c d e  4 a b c d e         a b c d a b c a b P abcde      

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Câu 1 a) Ta có

b) Ta có: Xét hiệu

Vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. Suy ra , mà nên Câu 2 a) Ta có ; ; (vì )

Suy ra

(vì )

b) Đặt , sau đó tìm t, rồi tìm x Câu 3

(*)

Ta có nên y lẻ, mà Từ đó tìm được các số x, y Câu 4

 

2 3 2 3 2 6 4 2 2 4 3 5 3 25 6 9 25 a ab a ab a a b a b         

 

2 3 2 3 2 6 2 4 4 2 3 10 3 100 6 9 100 b a b b a b b a b a b         

6 4 2 2 4 6 3 3 125 a a b a b b       

3 2 2 2 2 125 5 a b a b      

2017

1 2 2016 2016 3 2016 3 ... 3 a a a      M M M

       3 3 3 3 3 3 1 2 2016 1 2 2016 1 1 2 2 2016 2016 ... ... ... A a a a a a a a a a a a a               

3 ( 1)( 1) a a a a a    

3 AM 1 2 2016 ... 3 a a a    M 3 3 3 1 2 2016 ... 3 a a a    M

 

2 2x y z    

2 2y x z    

2 2z x y   0 x y z   

      2 2 2 2 2 2 ax by cz a y z b x z c x y        

      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ax by cz a y yz z b x xz z c x xy y           

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ax by cz ay ayz az bx bxz bz cx cxy cy                    2 2 2 2 2 2 2 ax by cz y a c z a b x b c cxy bxz ayz           

      2 2 2 2 2 2 2.0 ax by cz y b z c x a          0 0 a b c ayz bxz cxy x y z       

2 2 2 0 ax by cz    

12 7 x t  

2 2 4 8 38 6 x x y         2 2 2 2 2 2 4 19 3 2 1 21 3 3 7 x x y x y y         

 

2 2 2 1 2 7 2 x y    M M 2 2 7 1 y y   

DeThi.edu.vn

a) Ta có AEC BFC (g-g) nên suy ra

Xét ABC và EFC có và góc C chung nên suy ra ABC EFC (c-g-c)

b) Vì CN //IK nên HM CN M là trực tâm HNC MN CH mà CH AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M là trung điểm BC nên NC = ND IH = IK ( theo Ta let)

c) Ta có:

Tương tự ta có và

= + . Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo

gt thì AB < AC nên không xảy ra dấu bằng. Câu 5 Ta có

. Dấu đẳng thức xảy ra khi

Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức , ta có

G

N

D

K

I

M

H

F

E

A

B C

 :  CE CA CF CB 

  CE CA CF CB   : 

     

 

AHC AHC ABH AHC ABH ABH

CHE BHE CHE BHE BHC

S S S S S S AH HE S S S S S       

BHC BHA

AHC

S S BH

BF S

  BHC AHC

BHA

S S CH

CG S

 

AH BH CH HE HF HG    AHC ABH

BHC

S S S

  BHC BHA

AHC

S S S

  BHC AHC

BHA

S S S



AHC ABH

BHC BHC

S S S S   BHC BHA

AHC AHC

S S S S  BHC AHC

BHA BHA

S S S S  6 

    2 2 2 2 0 2 0 4 x y x xy y x y xy          x y 

 

2 4 x y xy  

    2 2 4 4 a b c d e a b c d e       

    2 4 a b c d a b c d     

    2 4 a b c a b c    

 

2 4 a b ab  

         2 2 2 16. . . 256 . . . . . a b c d a b c a b a b c d e a b c d a b c ab            

DeThi.edu.vn