Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 33 (Có đáp án)

Câu 1. Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nêu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn , hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Câu 2 a) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu ; ; thì chia hết cho b) Cho biểu thức . Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB, AC ( , ) a) Chứng minh b) Chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. c) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất d) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định Câu 4 a) Tìm số nguyên a sao cho là số nguyên tố b) Giải phương trình nghiệm nguyên Câu 5. Cho hai số không âm và thoả mãn .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

2 2 2 2 2 2 4 1 1 : 2 xy A y x y x y xy x            

2 2 3 2 2 1 x y x y    

2 a x yz  

2 b y xz   2 c z xy   ax by cz   a b c  

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 A a b b c a c a b c      

0 A 

E AB  F AC 

2 . . FC BA CA BE AB  

4 4 a 

2 2014 2015 2016 0 x xy x y     

a b 1  b a

1 1 a b S a b    

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Câu 1 a) Điều kiện: x y; y 0 b) A = 2x(x+y) c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2

+ A = 2 khi

+ A = 1 khi

Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn:

Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 Câu 2 a) Ta có

; ;

Vậy chia hết cho b) Ta có

 

    2  0   

 

x y 1 0

2x x y 2

x y;y 0

         



1 x 2 3 y 2

   

 

2 (x y 1) 1

2x x y 1

x y;y 0

          

2 1 x 2 2 3 y 2

   

  

3 ax x xyz   3 by y xyz   3 cz z xyz  

    3 3 3 3 3 3 3 3 ax by cz x y z xyz x y xy x y xyz z            

       2 2 3 ax by cz x y z x y x y z z xy x y z                     2 2 2 2 3 ax by cz x y z x xy y xz yz z xy x y z                     2 2 2 2 3 ax by cz x y z x xy y xz yz z xy           

   2 2 2 ax by cz x y z x y z xz yz xy          

   ax by cz x y z a b c       

ax by cz   a b c  

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 A a b b c a c a b c            

2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 A a b a b c a b b c a c ab a b c           

   2 2 2 2 2 2 2 2 A ab a b c ab a b c       

   

    

2 2 2 2 A a b c c a b

A a b c a b c c a b c a b

                   

DeThi.edu.vn

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên Câu 3

a) Chứng minh và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất c) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định

a) Xét (vì )

(vì ; )

không đổi b) Ta có vì không đổi nên lớn nhất khi đó E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC Cách khác Ta có

mà

Vậy

d) Câu 4 a)

Vì ; với mọi a Để là số nguyên tố thì hoặc . Từ đó tìm được hoặc b) Ta có

Từ đó tìm được x, y

F

E M

C

B

A

0 A 

2 . . FC BA CA BE AB  

~ . . . BE EM BEM BAC BE AC AB EM AB BE AB AC        EM BE 

~ . . . CF FM CFM CAB CF AB FM CA AE AB CA AB        MF AE  AB AC 

 

2 . . . . . FC BA CA BE AB BE AE AB AB BE AB AB AB AB       

    2 2 2 MEAF P AE EM AE BE AB     

. MEAF S AE EM  AE BE AE EM AB     . AE EM

AE EM AE BE    

. MEAF S AE EM   

2 2 4 . . 4 AB AE EM AE EM AE EM    

2

4 MEAF

AB MaxS AE EM AE BE     

         2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a             

 

2 2 2 2 1 1 a a a       …