Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 28 (Có đáp án)

Câu 1. Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng chia hết cho 48. Câu 2 a) Giải phương trình:

b) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức

Câu 3. Cho đa thức thỏa mãn khi chia cho thì dư ; khi chia cho dư 3. tìm dư của phép chia cho Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao ; ; , trực tâm H

a) Tính tổng

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB ( , ). Chứng minh

c) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức đạt

giá trị nhỏ nhất

Câu 5. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 ab a b   

       2 2 2 2 2 2 2 2016 4 5 2015 4 2 2016 5 2015 x x x x x x x x          

1 abcd  1 1 1 1 1 1 1 1 M abc ab a bcd bc b acb cd c abd ad d                 P x 3 x  17

1 x   P x 2 4 3 x x  

AA BB CC AH BH CH AA BB CC     

M AC  N AB  . . . . AN BI CM BN IC AM   

2

2 2 2 AB BC CA AA BB CC       

1 1 1 2016 x y z   

2 2 2 2 2 2 x y y z z x P x y y z z x         

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn Câu 1 Ta có

Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên ,

, ( ), suy ra Vì , , là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết

cho 3, mà nên nên . Câu 2 a) Đặt ; , ta có , từ đó tìm ra x Câu 3 Vì đa thức chia là có bậc hai nên đa thức dư có dạng Ta có

và Do đó ; nên đa thức dư có dạng Câu 4

a) Ta có

; ;

Chứng minh tương tự ta có:

;

b) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

I

x

N

M

D

H

C'

B'

A' C B

A

   1 1 1 ab a b a b     

 

2 2 1 a n  

 

2 2 3 b n   n¢       2 1 1 1 16 1 2 ab a b a b n n n        

n   1 n    2 n     1 2 n n n  

  16,3 1     2 16 1 2 48 n n n   M 1 48 ab a b   M

2 2 2016 x x a    2 5 2015 x x b     

2 2 2 4 4 2 0 2 a b ab a b a b       

2 4 3 x x   ax b       1 3 . P x x x Q x ax b     

 3 17 3 17 P a b      1 3 3 P a b    

7 a  4 b  7 4 x 

1 . 2 ABC S AA BC   1 . 2 BHA S BA AH   1 . 2 CHA S CA AH  

 . 2

. 2

AHB AHC

ABC

A B A C AH S S AA AA BC S AH

  

     

 . 2

. 2

AHB BHC

ABC

AB B C BH S S BH BB AC S BB

       

 . 2

. 2

BHC AHC

ABC

BC AC CH S S CH CC AB S CC

       

2 2 AHB AHC AHB BHC BHC AHC ABC

ABC ABC

S S S S S S S AH BH CH AA BB CC S S             

DeThi.edu.vn

; ; , từ đó suy ra

c) Vẽ , gọi D là điểm đối xứng với A qua Cx Ta có tam giác BAD vuông tại A và ; Xét ba điểm B, C, D, ta có

vuông tại A nên

Chứng minh tương tự ta có:

Đẳng thức xảy ra đều Câu 5

Áp dụng các bất đẳng thức ;

Ta có

Vậy

AN AI BN BI  BI AB IC AC  CM IC AM AI 

. . . . . . 1 . . . . AN BI CM AI AB IC AB IC AB AC AN BI CM BN IC AM BN IC AM BI AC AI AC BI AC AB     

Cx CC 

CD CA  2 AD CC  BD BC CD   BAD  2 2 2 AB AD BD    

2 2 2 AB AD BC CD    

 

2 2 2 4 AB CC BC AC     

 

2 2 2 4CC BC AC AB     

 

2 2 2 4AA AB AC BC   

 

2 2 2 4BB AB BC AC   

     

2 2 2 2 2

2 2 2 4 4 AB BC CA AA BB CC AB BC CA AA BB CC                   ; ; BC AC AC AB AB BC ABC     

   

2 2 2 2 a b a b    1 1 4 a b a b   

   

   

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

x y y z z x x y y z z x P x y y z z x x y y z z x

                 

   

   

    2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2. 4 x y y z z x P x y y z z x x y y z z x x y y z z x

                                

2 1 1 1 2. 2016 4 P x y z          

3 2016 2016 minP x y z     

DeThi.edu.vn