Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 20 (Có đáp án)

Câu 1. Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các đường thẳng kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC ở E và F. Chứng minh a) b) c) Gọi , , , theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB, OCD, OAD và OBC. Chứng minh

a) Ta có

nên (1)

nên (2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta có nên

b) Ta có

nên (3)

nên (4)

nên (5)

Từ (4) và (5) suy ra (6)

Từ (3) và (6) suy ra

c) Ta có

; ; ;

; , do đó

Bài 2. Hình thang ABCD ( ) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh

K

H

S4 S3

S2

S1

E F

O

D C

B A

/ / EF AB

2 . AB EF CD 

1S 2 S 3 S 4 S

1 2 3 4 . . S S S S 

/ / AE BC AO OE OC OB 

/ / BF AD OF OB AO OD 

. . AO OF OE OB OF OE OC AO OB OD OC OD    / / EF AB

/ / AB CD AB BO DC OD 

/ / AB EF EF OF AB AO 

/ / BF AD OF OB AO OD 

EF OB AB OD 

2 . AB EF AB DC EF DC AB   

1

1 . 2 S AH OB  2

1 . 2 S CK OD  3

1 . 2 S AH OD  4

1 . 2 S CK OB 

1

4

1 . 2

1 . 2

AH OB S AH S CK CK OB   3

2

1 . 2

.

AH OD S AH S CK OD CK   3 1

1 2 3 4 4 2

. . S S S S S S S S   

/ / AB CD

OM ON 

DeThi.edu.vn

b) Chứng minh rằng

c) Biết (đơn vị diện tích); (đơn vị diện tích); Tính

a) Ta có

nên (1)

nên (2)

Mặt khác ta có ( ) mà ( ) nên

Từ (1) và (2) suy ra

b) Ta có

nên ; nên

Suy ra (3)

nên ; nên

Suy ra (4)

Từ (3) và (4)

c) Ta có

; , do đó

Lại có (có cùng chiều cao và cạnh tương ứng)

suy ra Ta có

Bài 3.

N M

O

D C

B A

1 1 2 AB CD MN  

2 2015 AOB S  2 2016 COD S  ABCD S

/ / OM AB OM DO AB DB 

/ / ON AB ON OC AB CA 

DO CN OB CB  / / ON DC CN CO CB CA  / / ON AB DO CO OB CA 

OM ON OM ON AB AB   

/ / MO DC MO AM DC AD  / / MO AB MO DM AB AD 

1 1 1 MO MO AM DM AM DM AD MO DC AB AD AD DC AB AD AD               

/ / NO DC NO BN DC BC  / / NO AB NO CN AB CB 

1 1 1 NO NO BN CN BN CN BC NO DC AB BC CB DC AB BC BC               

  1 1 1 1 2 2 2 NO MO AB CD AB CD NO MO MN              

AOB

AOD

S OB S OD  BOC

COD

S OB S OD  . . AOB BOC

AOB COD BOC AOD AOD COD

S S S S S S S S   

ABD ABC S S 

ABD AOB ABC AOB AOD BOC S S S S S S       

2 . . AOB COD BOC AOD AOD S S S S S  

 

2 2 2 2015 .2016 2015.2016 AOD AOD S S   

2 2 2 2015 2.2015.2016 2016 4031 ABCD S    

DeThi.edu.vn