Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 19 (Có đáp án)

Đề 18 Câu 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) 2) Câu 2 (4 điểm)

1) Tìm biết

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 3 (4 điểm) 1) Cho là các số tự nhiên có tổng bằng . Chứng minh rằng: chia hết cho 3. 2) Cho và là các số tự nhiên thoả mãn . Chứng minh rằng: và là các số chính phương. Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N. 1) Gọi O là trung điểm của AI. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng. 2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H, K, D. Chứng minh rằng MH + NK = AD. 3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC. Câu 5 (2 điểm) Cho và . Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của . .................................... Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ....................................................., Số báo danh: .....................

2 2014 2013 x x  

2 ( 2)( 2 2) 1 x x x x    

, a b 1 2 3 7 3 15 23 7 20 a b a a     

2 2 2 2 2 4 2013 A x y xy x y      

1 2 2013 , ,... a a a 2014 2013

3 3 3 1 2 2013 ... B a a a    

a b 2 2 2 3 a a b b    a b  3 3 1 a b  

a b c d    ( )( ), ( )( ), ( )( ) x a b c d y a c b d z a d b c         

, , x y z

DeThi.edu.vn

Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày chi tiết. HS giải bằng nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm từng phần tương ứng.

Câu Ý Nội Dung Điểm 0.5 1 1

0.5 0.5 0.5 0.5

1

2

0.5

Từ có 0.5

0.5

Thay vào tỉ lệ thức ta được

. Suy ra

0.5 1

Vậy , . 0.5 Ta có

0.5

0.5 Nhận thấy với mọi x,y ta có . Suy ra Dấu “=” xảy ra khi

0.5

2

2

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003 đạt được khi 0.5 Dễ thấy là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 0.5

Xét hiệu

chia hết cho 3

0.5

Mà là các số tự nhiên có tổng bằng . 0.5

1

Do vậy B chia hết cho 3. 0.5 Từ có 0.5 Cũng có . Suy ra 0.5

Gọi . Chứng minh được d=1 0.5

3

2

là số chính phương là số chính phương (đpcm) 0.5

2 2014 2013 x x    2 2013 2013 x x x    ( 2013) ( 2013) x x x     ( 1)( 2013) x x   

2 ( 2)( 2 2) 1 x x x x     2 2 ( 2 )( 2 2) 1 x x x x     

2 2 2 ( 2 ) 2( 2 ) 1 x x x x     

2 2 ( 2 1) x x   

4 ( 1) x   1 2 7 3 15 20 a a    20(1 2 ) 15(7 3 ) a a   

1 a  

1 a  1 2 3 15 23 7 a b

a    1 2.1 3 15 23 7.1 b    2 b 

1 a  2 b 

2 2 2 2 2 4 2013 A x y xy x y      

2 2 2 2 ( 1) 2 1 6 9 2003 x x y y y y y         

2 2 ( 1) ( 3) 2003 x y y      

2 2 ( 1) 0;( 3) 0 x y y     

2003 A 

4, 3 x y  

4, 3 x y  

3 ( 1)( 1) a a a a a    

3 3 3 1 2 2013 1 2 2013 1 2 2013 ( ... ) ( ... ) ( ... ) B a a a a a a a a a            

3 3 3 1 1 2 2 2013 2013 ( ) ( ) ... ( ) a a a a a a       

1 2 2013 , ,... a a a 2014 2013 3 M

2 2 2a 3 a b b    2 ( )(3 3 1) a b a b a    

2 ( )(2 2 1) a b a b b    

2 2 ( ) (2 2 1)(3 3 1) ( ) a b a b a b ab      

(2 2 1,3 3 1) a b a b d     

3 3 1 a b   a b 

DeThi.edu.vn