Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 18 (Có đáp án)

Bài 1. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện Chứng minh Đặt vì Nếu , ta có:

Nếu , ta có:

Vì nên nên và nên .

Bài 2. Cho tam giác ABC có . Gọi , , . Chứng minh hệ thức . Hướng dẫn

Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho , suy ra . Ta có cân tại A nên , do đó . Theo gt thì nên . Xét và có: chung

Do đó (g.g)

hay

Cho .Chứng minh rằng ít nhất có một bất đẳng thức sau đây là sai:

Kết quả này mâu thuẩn với kết quả của giả thiết đã nêu ra ë trên. Vậy ít nhất phải có một bất đẳng thức sai.

1

E

c

c b

a

C B

A

2 2 2 1 a b c      2 1 0 A abc a b c ab ac bc        

  2 1 A abc a b c ab ac bc        2 2 2 1 a b c   

0 abc 

  2 2 2 2 2 2 2 1 A abc a b c ab ac bc a b c           

 

2 1 0 A a b c abc     

0 abc    2 1 A a b c ab ac bc abc abc        

     1 1 1 A a b c abc     

2 2 2 1 a b c    1 , , 1 a b c       1 1 1 0 a b c     0 abc   0 A  µ µ 2 A B  BC a  AC b  AB c 

2 2 a b bc  

AE c  CE b c  

ABE  µ µ

1 E B  · µ µ µ 1 2 BAC E B E    µ µ 2 A B  µ · E ABC  BCE  ACB  µ C

µ · E ABC 

~ BCE ACB  

2 . BC CE BC AC CE AC BC       2 a b b c  

0 , , 1 a b c  

1 1 1 (1 ) ; (1 ) ; (1 ) 4 4 4 a b b c c a      

DeThi.edu.vn

Bài 2: Cho 25 số tự nhiên thoả mản điều kiện

.

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau. Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

1 2 25 , ,..., a a a

1 2 25 1 1 1 ... 9 a a a    

a(2 a) 1

b(2 b) 1

c(2 c) 1

 

 

 

DeThi.edu.vn