Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 17 (Có đáp án)

Đề 17 Bài 1 a) Xác định các hằng số a, b sao cho:

chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: Bài 2

a) Chứng minh rằng với .

Chứng minh bất đẳng thức sau: với a, b, c là

độ dài ba cạnh của một tam giác. Bài 3. Cho hình chữ nhật có , gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB, CD. Nối D với E. Vẽ , tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho . Gọi G là giao điểm của DK và EM. a) Tính . b) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài 4. Cho ba số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1. Bài 5. Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng trong đó p là số nguyên tố, chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác. Bài 6. Cho a a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và chu vi 2p Chứng minh rằng:

a)

b)

3 3 5 50 ax bx x    2 3 10 x x  

2 4 5 xy x y   

1 1 4 x y x y    , 0 x y 

1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c          

2 AB CD  Dx DE 

DM EK  ·DBK

. . 1 1 1 1 x y z

x y z x y z

       

2 1 p 

    8 abc p a p b p c    

1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c              

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn

a) Ta có: (g.g)

mà

vuông cân tại B nên , Do đó (c.g.c)

b) Ta có tứ giác DEKM là hình chữ nhật nên vuông cân tại M suy ra H là trung điểm của CM.

(cùng vuông góc với DE), (tính chất đường trung bình) nên ba điểm A ; I, H thẳng hàng. Các tam giác CIH, CHK vuông cân tại C và H nên mà nên tứ giác DIKH là hình bình hành. Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật, do đó EM, DK, IH đồng quy tại G là trung điểm của DK. Vậy do đó bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5 Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng trong đó p là số nguyên tố, chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác. Hướng dẫn Đặt

H

M

K

G

I

E

D C

B A

~ EBC DCM   1 2 BE EC EC DC DM EK     EC CK   EC DE CK DE   

BEC  BE BC  · · 0 135 BED BCK   BED BCK   · · · 0 90 EBD CBK DBK    

CKM 

// AI DM // HI DM

KH CI DI   // DI KH

G IH 

2 1 p 

     3 2 2 1 1 2 1 1 p a a p a a a       

DeThi.edu.vn

Vì p là số nguyên tố nên:

(thỏa mãn) Hoặc (vô lí) vì Vậy trong các số tự nhiên có dạng trong đó p là số nguyên tố, chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.

1 2 13 a p   

2 1 2 a a   1 a 

2 1 p 

DeThi.edu.vn