Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 16 (Có đáp án)

Đề 16

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: .

b) Rút gọn biểu thức sau .

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình sau:

b) Chứng minh với mọi m, n, p, q ta đều có

Câu 3. (2,0 điểm)

Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, f(x) chia cho được thương là và còn dư.

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng .

d) Chứng minh rằng .

Câu 5. (1,0 điểm)

Chứng minh rằng không có các số dương thỏa mãn cả ba bất đẳng thức sau:

; ;

Hướng dẫn

Ta có: (do ~ ) mà (tam giác AHD

vuông vân tại H) nên (do ABH ~ CBA)

Do đó BHM ~ BEC(c.g.c). Suy ra: Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Suy ra: , mà (ABC~ DEC)

Ta lại có => mà HD=HC

=>

4 2 2013 2012 2013 x x x   

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 8 8 4 2 x x x A x x x x x x                    

2 2 2 2 2 2 (2 2013) 4( 5 2012) 4(2 2013)( 5 2012) x x x x x x x x          

  2 2 2 2 1 1 m n p q m n p q       

2 x  2 x 

2 4 x  5x 

2 AC EF 

2 2 2 1 1 1 AD AM AN  

  4 1 1 a b     4 1 1 b c     4 1 1 c a  

1 1 2 2 BM BE AD BC BC AC     BEC  ADC  2 AD AH 

1 1 2 2 2 2 BM AD AH BH BH BC AC AC BE AB       · · · 0 0 135 45 BHM BEC AHM    

GB AB GC AC  AB ED AC DC 

// ED AH ED AH DC HC  ED AH HD DC HC HC  

GB HD GB HD GB HD GC HC GC GB HC HD BC HC AH        

DeThi.edu.vn

Câu 5. Giả sử tồn tại các số a, b, c sao cho: ; ;

Suy ra ; ;

Nhân theo từng vế của bất đẳng thức ta được:

(*)

Ta có:

(1); (2); (3)

Nhân theo từng vế của (1), (2) và (3) ta được:

(**) mâu thẫu với (*)

Do đó không có các số dương thỏa mãn cả ba bất đẳng thức sau:

; ;

  4 1 1 a b     4 1 1 b c     4 1 1 c a  

1 0 a   1 0 b   1 0 c  

    64 1 1 1 1 abc a b c    

  4 1 1 1 a a a a       4 1 1 1 b b b b       4 1 1 1 c c c c    

    64 1 1 1 1 abc a b c    

  4 1 1 a b     4 1 1 b c     4 1 1 c a  

DeThi.edu.vn

Cho là ba số dương thoả mãn . Chứng minh rằng :

.

---------------Hết----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Câu Hướng dẫn giải Điể m

Câu 1

(2.0 điểm ) Ta có

0,25

0.25

0.25

1 (1.0 điểm)

Kết luận 0.25

ĐK: 0.25

Ta có

0.25

0.25

2 (1.0 điểm)

0.25

, , a b c 1 abc 

3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b      

4 2 2013 2012 2013 x x x      4 2 2013 2013 2013 x x x x     

     2 2 1 1 2013 1 x x x x x x       

   2 2 1 2013 x x x x     

4 2 2013 2012 2013 x x x       2 2 1 2013 x x x x     

0 2 x x

   

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2( 4) 4(2 ) (2 ) x x x x x x x x x x                  

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 2) 4 ( 1)( 2) 2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4) x x x x x x x x x x x x x x x x x                                       

3 2 2 2

2 2 2 2 4 4 4 1 ( 4)( 1) 1 . 2( 4) 2 ( 4) 2 x x x x x x x x x x x x x x            

DeThi.edu.vn