Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 9 (Có đáp án)

Đề 9 Câu 1 (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức .

b) Cho . Chứng minh rằng Câu 2 (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử .

b) Cho và . Chứng minh rằng .

Câu 3 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh:

a) .

b) .

Câu 4 (1 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác AOB, biết diện tích tam giác BOC là 169 và diện tích tam giác AOD là 196 . Câu 5 (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau

     2 4 256 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1 A      

2 2 2 x y z       

2 5 3 4 5 3 4 3 5 x y z x y z x y      

10 5 1 a a  

1 x y   0 xy   

3 3 2 2 2 0 1 1 3

x y x y y x x y

      

1 1 1 OI AB CD  

2 1 1 IJ AB CD  

2 cm

2 cm

2 1 x y xy y   

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức .

b) Cho . Chứng minh rằng Hướng dẫn a) Ta có:

.

b) Ta có:

(vì )

. Câu 2 (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử .

b) Cho và . Chứng minh rằng .

Hướng dẫn a)

.

b) Ta có:

Vì và , do đó ta có:

     2 4 256 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1 A      

2 2 2 x y z       

2 5 3 4 5 3 4 3 5 x y z x y z x y      

     2 4 256 1. 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1 A      

      2 4 256 2 1 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1 A       

     2 2 4 256 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1 A      

    4 4 256 2 1 2 1 ... 2 1 1 A     

   256 256 512 512 2 1 2 1 1 2 1 1 2 A     

   5 3 4 5 3 4 x y z x y z    

 

2 2 5 3 16 x y z   

2 2 2 25 30 9 16 x xy y z    

  2 2 2 2 25 30 9 16 x xy y x y      2 2 2 x y z  

2 2 2 2

2 2 25 30 9 16 16

9 30 25

x xy y x y

x xy y

    

  

 

2 3 5 x y  

10 5 1 a a  

1 x y   0 xy   

3 3 2 2 2 0 1 1 3

x y x y y x x y

      

10 5 1 a a       10 9 8 9 8 7 7 6 5 6 1 a a a a a a a a a a           

        8 2 7 2 5 2 3 3 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a            

         8 2 7 2 5 2 2 3 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a              

   2 8 7 5 4 3 1 1 a a a a a a a a         

3 3 1 1 x y y x   

  

4 4

3 3 1 1 x x y y y x    

 

     

4 4

3 3 1 1

x y x y

y x

   

 

         

2 2

2 2 1 1 1 1

x y x y x y x y

y y y x x x

     

     

1 x y   1 y x   1 x y 

DeThi.edu.vn

(vì )

Do đó .

Câu 3 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh:

a) .

b) .

Hướng dẫn

a) Ta có:

OI // AB, xét tam giác OIC ta có: (1).

OI // CD, xét tam giác BDC ta có: (2).

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

(3).

b) Chứng minh tương tự ta có (4).

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có:

I J

O

D C

B A

       

2 2

2 2 1 1

x y x y x y x y

xy y y x x

     

   

     

2 2

2 2 2 2 2 2 1

x y x y x y

xy x y y x y yx xy y x x

    

       

1 x y  

    

2 2

2 2 2 2 1

2

x y x y

xy x y xy x y x y xy

             

  

 

2 2

2 2 2 2

x y x x y y

xy x y x y

                 

2 2 1 1

3

x y x x y y

xy x y

             

     

2 2 3

x y x y y x

xy x y

                  

2 2 2 2

2 2

3 3

x y xy x y x y xy x y

           

 

3 3 2 2 2 0 1 1 3

x y x y y x x y

      

1 1 1 OI AB CD  

2 1 1 IJ AB CD  

OI CI AB CB 

OI BI CD BC 

1 OI OI CI BI BC AB CD BC BC BC     1 1 1 OI AB CD  

1 1 1 OJ AB CD  

1 1 1 1 2 OI OJ AB CD         

DeThi.edu.vn