Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề 4 (Có đáp án)

Câu 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử b) Chứng minh thì là hợp số. c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 2

a) Giải phương trình

b) Cho . Tính Câu 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác.

Chứng minh

Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F; G; H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; CD; DA. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông. b) Chứng minh và cân. c) Tính diện tích theo a. Bài tập tương tự câu 1b) 1. Tìm số tự nhiên n để là số nguyên tố. 2. Cho biểu thức . Tìm số tự nhiên n để biểu thức trên là số nguyên

tố

2 2 2 4 4 5 x xy y x y     

* n N  3 2 n n  

1 2 3 2016 ... 2016 2016 2015 2014 1 x x x x         

2 2 2 3 3 3 1 a b c a b c       2 2014 2015 S a b c   

2 2 2 3 4 8 2 18 A x y xy x y      

ab bc ac a b c a b c a b c a b c           

DF CE  MAD  MDC 

4 4 n   

2 2 8 36 x  

DeThi.edu.vn

Câu Ý Nội dung Điể m a. 1 điểm

= (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9 = (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1)

0.5 0,5 b. 1 điểm

Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) =(n+1)( n2 - n + 2) Do nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số

0.25 0,25 0.5 Câu 1 3 điểm c. 1 điểm

Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2 Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1 = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 = ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻ

0.25 0.25 0.25

0.25 a. 1.5 điểm

Phương trình đã cho tương đương với:

x = 2013

0.5 0. 5

0. 5 Câu 2 2 điểm b. 0.5 điểm

a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 a; b; c a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0 a3 + b3 + c3 1 a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1 b2012 = b2; c2013 = c2; S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1

0.25

0.25

a. 1 điểm

Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1 A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 1 Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3

0.25 0.25 0.25 0.25

Câu 3 1.5 điểm

b. 0.5 điểm

vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0

ta có: x + y + z = a + b + c;

Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh

0.25

0.25

* n N 



1 2 3 2012 1 1 1 ... 1 2012 2012 2012 2011 2010 1 x x x x           

2013 2013 2013 2013 ... 0 2012 2011 2010 1 x x x x          

1 1 1 1 ( 2013)( ... ) 0 2012 2011 2010 1 x       

   1;1 

      



; ; 2 2 2 y z x z x y a b c      

( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 4 4 ab bc ac y z x z x z x y x y y z a b c a b c a b c z x y                 

 

1 1 1 ( 3 3 3 ) 3( ) (2 2 2 ) 4 4 2

1 3( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2

1 3( ) 4

xy yz xz xy yz xz x y z x y z z x y z x y

y x z x y z z x y x y z z x z y y x

x y z x y z x y z

                               

        

DeThi.edu.vn