Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề 4 (Có đáp án)

ĐỀ 4 Câu 1

a) Tìm thoả mãn .

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: có giá trị là một số nguyên.

Câu 2

a) Cho hai số . So sánh hai số và .

b) Tìm x, biết .

Câu 3 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân. Câu 4

Tìm cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:

Câu 5. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho và đều là các số chính phương thì n là bội số của 24.

Z y x  ; 169 4 5 2 2    y xy x

2 3

3 2 6 n n n A   

0 a b   2 1 1

a x a a    2 1 1

b y b b    1 2 3 4 5 6 6 0 1000 999 998 997 996 995 x x x x x x             

  ; ; x y z

  2 2 2 4064497 2 15 4 2014 x y z x y z      

1 n  2 1 n 

DeThi.edu.vn

Câu 3

goi K là trung điểm của DC nên AM=KC, Nên AMCK là hình bình hành

Hay (1) Goi L là giao điiểm của DN và AK. K là trung điểm của DC và suy ra AK đi qua trung điểm của DI nên L là trung điểm của DI (2) Từ (1) và (2) suy ra tam giác AID cân tại A

I L

K

N

M

C

A B

D

· · · · · · ·

0 0

0 à 90 90

90

DCN CBM NDC CBN

M MCB MCD NDC MCD

DIC DN MC

   

    

   

AM KC P

à DN MC AK DN AK MC M 

   P

AK DI 

AK MC P

DeThi.edu.vn

Câu 1 (2 điểm). a) Tìm thoả mãn: .

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: có giá trị

là một số nguyên. Hướng dẫn a) Ta có:

Từ (I) ta có:

Từ (II) ta có:

Vậy

b) Ta có:

Vì là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên 3 và 2 mà . Do đó . Hay A là một số nguyên. Câu 2 (2 điểm).

a) Cho hai số . So sánh hai số và .

b) Tìm x, biết:

Hướng dẫn Vì , ta có:

Z y x  ; 169 4 5 2 2    y xy x

2 3

3 2 6 n n n A   

169 4 5 2 2    y xy x

 

2 2 2

2 2 4 4 169

2 169

x xy y x

x y x

    

   

  

   

2 2

2 2 2 144 25

2 169 0

x y x I

x y x II

      

    

 

 

2 2

2 2

2 2

2 2

5 5 2 12 ; 2 22 5

12 12 2 5 ; 19 29 12

x x x y

y y x

x x x y

y y x

                                   

m m

m m

 

 

2 2

2

2

2 2

0 2 13

13 0

13 2 0

26 13

x x y

y x

x x y

y x

                         

               

5; 2 ; 5; 22 ; 5;2 ; 5;22 ; 12; 19 ; 12; 29 ,

12;19 ; 12;29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13;26 ; 13; 26 x y

                    

2 3

3 2 6 n n n A   

   2 3 1 2 2 3

6 6 n n n n n n A      

   1 2 n n n      1 2 n n n   M

   1 2 n n n   M   2,3 1     1 2 n n n   6 M

0 a b   2 1 1

a x a a    2 1 1

b y b b    1 2 3 4 5 6 6 0 1000 999 998 997 996 995 x x x x x x             

, 0 x y 

DeThi.edu.vn

Vì nên và .

Vậy . b) Ta có:

Vì nên .

Câu 3.

Câu 4. Đặt . Ta có:

Đặt

Vậy min .

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x y a a a

a a a

a a a b b

                

0 a b   2 2 1 1 a b  1 1 a b 

x y 

1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 0 1000 999 998 997 996 995 x x x x x x            

1001 1001 1001 1001 1001 1001 0 1000 999 998 997 996 995 x x x x x x            

  1 1 1 1 1 1 1001 0 1000 999 998 997 996 995 x              1 1 1 1 1 1 0 1000 999 998 997 996 995       1001 x 

1 1 x y x y    

       

2 2

2 2 3 1 8 1 6 3 2 1

1 2 1 1

y y y y A y y y

           

2 2 1 3 A y y   

1 z y  2 3 2 A z z    

2 2 1 2 A z z     

2 1 2 2 A z    

2 1 1 2 A z y x     

DeThi.edu.vn