Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 3 (Có đáp án)

ĐỀ 3 Câu 1 a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau . b) Giải phương trình Câu 2

a) Giải phương trình

b) Chứng minh rằng chia hết cho 48 với n chẵn. Câu 3 a) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. Câu 4 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ , . a) Chứng minh b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 5

a) Chứng minh rằng

b) Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn và

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau.

2 2 2 9 2 18 4 6 20 0 x y z x z y       

4 2 30 31 30 0 x x x    

148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x        

3 2 6 8 A n n n   

     1 2 3 6 P x x x x     

ME AB  MF AD 

DE CF 

2 2 4 2 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 100 P      

2016 a b c    1 1 1 1 2016 a b c   

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm).

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: .

Ta có:

Vì với mọi x, y, z nên:

b) Giải phương trình: Hướng dẫn

Ta có:

với mọi x nên suy ra:

Câu 2.

a) Giải phương trình:

Hướng dẫn

Vì nên 123 – x = 0, suy ra x = 123.

b) Chứng minh rằng: chia hết cho 48 với n chẵn. Hướng dẫn

chia hết cho 48 với n chẵn Ta có:

2 2 2 9 2 18 4 6 20 0 x y z x z y       

    2 2 2 2 2 3 2.3 .3 3 2. .3 3 2 2 1 0 x x y y z z         

      2 2 2 3 3 3 2 1 0 x y z      

      2 2 2 3 3 0; 3 0;2 1 0 x y z      

1

3

1

x

y z

      

4 2 30 31 30 0 x x x    

4 2 30 31 30 0 x x x      

   

    

  

4 2

4 2

2 2

2 2

30 30 30 0

30 1 0

1 1 30 1 0

1 30 0

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

    

    

      

    

2 2 1 3 1 0 2 4 x x x           

  

2 30 0

5 6 0

5

6

x x

x x

x

x

  

  

   

148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x        

148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x        

 148 169 186 199 1 2 3 4 0 25 23 21 19 x x x x                                    

  1 1 1 1 123 0 25 23 21 19 x            1 1 1 1 0 25 23 21 19          

3 2 6 8 A n n n   

3 2 6 8 n n n  

3 2 6 8 A n n n      2 6 8 A n n n   

DeThi.edu.vn

M F

E

D C

B A

Vì n là số chẵn nên đặt , khi đó:

Vì là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên:

- Tồn tại một số là bội của 2 nên nên

- Tồn tại một số là bội của 3 nên

Vậy A chia hết cho 3, 16 mà nên .

Câu 3 (2 điểm). a) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. Hướng dẫn

Vì nên Do

đó Min P = -36 khi .

Từ đó ta tìm được x = 0 hoặc x = -5 thì min P = -36. b) Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3. Ta có:

Vì chia hết cho 3 nên chia hết cho 3;

Do vậy chia hết cho 9.

Câu 4 (3 điểm).

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME AB, MF AD.

a) Chứng minh: b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Hướng dẫn

a) Chứng minh:

đpcm.

b) DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm. c) Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

không đổi

lớn nhất (AEMF là hình vuông)

là trung điểm của BD.

   2 4 A n n n   

  2 n k k  ¢

   2 2 2 2 4 A k k k   

   8 1 2 A k k k   

   32 1 2 A k k k   

   1 2 k k k  

   1 2 2 k k k   M 16 AM

   1 2 3 k k k   M

  3,16 1  3.16 48 A  M

     1 2 3 6 P x x x x     

     1 2 3 6 P x x x x     

  

 

2 2

2 2

5 6 5 6

5 36

P x x x x

P x x

    

  

 

2 2 5 0 x x    

2 2 5 36 36 P x x    

 

2 2 5 0 x x  

   3 3 2 2 a b a b a ab b     

  …