Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 2 (Có đáp án)

Câu 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) Câu 2

a) Tìm x, biết:

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có chia hết cho 30. Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4 Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được một số chính phương. Câu 5 Cho a, b dương và . Tính Câu 6.

 

3 3 3 3 x y z x y z     

4 2 2014 2013 2014 x x x   

           

2 2

2 2 2013 2013 2014 2014 19

49 2013 2013 2014 2014

x x x x

x x x x

            

5 B a a  

2012 2012 2013 2013 2014 2014 a b a b a b      2015 2015 a b 

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) b) Hướng dẫn a)

b)

Câu 2 (2 điểm).

a) Tìm x, biết: .

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: chia hết cho 30. Hướng dẫn a) ĐKXĐ: Đặt Ta có:

hoặc .

b) Ta có:

 

3 3 3 3 x y z x y z     

4 2 2014 2013 2014 x x x   

 

3 3 3 3 x y z x y z     

 

       

3 3 3 3

2 2 2 2 2

x y z x y z

y z x y z x y z x x y z y yz z

                            

     

   

2 3 3 3 3

3

3

y z x xy yz xz

y z x x y z x y

y z x y x z

    

            

4 2 2014 2013 2014 x x x   

   

    

  

4 2

3 2

2 2

2 2

2014 2014 2014

1 2014 1

1 1 2014 1

1 2014

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

    

    

      

    

           

2 2

2 2 2013 2013 2014 2014 19

49 2013 2013 2014 2014

x x x x

x x x x

            

5 B a a  

2013; 2014 x x     2014 0 x a a   

       

2 2

2 2 1 1 19

49 1 1

a a a a

a a a a

        

2

2

2 2

1 19 3 3 1 49 49 49 49 57 57 19

a a a a a a a a

           

  

2 8 8 30 0

2 3 2 5 0

3 2

5 2

a a

a a

a

a

   

   

     

4031

2 x   4023

2 x 

DeThi.edu.vn

Vì là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 5, do đó (1) (2)

Từ (1) và (2) suy ra Câu 3 (2 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của . b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiếu của A trên BC. Câu 4 (2 điểm). Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Hướng dẫn Gọi số phải tìm là với

5 B a a     4 1 B a a  

   2 2 1 1 B a a a   

   2 2 1 4 5 B a a a    

     2 2 2 1 4 5 1 B a a a a a     

       2 2 1 1 2 5 1 B a a a a a a a       

     2 1 1 2 a a a a a    

     2 1 1 2 5 a a a a a     M

  2 5 1 5 a a  M

5 BM

µ µ $ o E A F 90    ãBAC



abcd , , , ,0 , , , 9, 0 a b c d a b c d a     ¥

E

F

A B

C

D

DeThi.edu.vn