Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 1 (Có đáp án)

ĐỀ 1 Câu 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

b) Cho

Chứng minh rằng . Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Câu 3. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức . Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho . Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Câu 5 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì thì các số ; ; cũng là số đo ba cạnh của một tam giác vuông khác. Câu 6 a) Tìm các số x, y nguyên dương biết b) Tìm các số nguyên x, y biết

     1 3 5 7 15 A a a a a      

        2 2 2 2 2 2 4 a b b c c a a b c ab ac bc           

a b c  

4 3 2 2 3 4 5 A a a a a           2 4 6 8 2016 x x x x     

2 10 21 x x  

BD AE 

9 4 8 x a b c    4 4 y a b c    8 4 7 z a b c   

6 5 18 2 x y xy   

5 3 2 11 x y xy   

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN Câu 1 a)

Đặt , ta có:

Do đó

.

b) Ta có:

Vì ; ; ; với mọi a, b, c nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ; và Vậy . Câu 2 Ta có:

Vì với mọi a nên

Vậy giá trị nhỏ nhất của . Câu 3 (2 điểm). Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức . Hướng dẫn

Đặt , biểu thức P(x) được viết lại:

     1 3 5 7 15 A a a a a      

    

   2 2 1 7 3 5 15

8 7 8 15 15

A a a a a

A a a a a

     

     

2 8 7 a a t     

  

2

8 15

8 15

3 5

A t t

A t t

A t t

  

  

  

  

  

2 2

2 2 8 7 3 8 7 5

8 10 8 12

A a a a a

A a a a a

      

    

    2 8 10 2 6 A a a a a     

        2 2 2 2 2 2 4 a b b c c a a b c ab ac bc           

bc ac ab c b a ac a c bc c b ab b a 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2              

0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2          ac c a bc c b ac b a

0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2       c a c b b a

0 ) ( 2  b a 0 ) ( 2  c b 0 ) ( 2  c a

0 ) ( 2  b a 0 ) ( 2  c b 0 ) ( 2  c a

a b c  

    

  

  

4 3 2

4 2 3 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 3 4 5

2 2 4 2 3

2 2 2 2 3

2 2 1 3

2 1 3

A a a a a

A a a a a a

A a a a a a

A a a a

A a a

    

      

      

    

   

  

2 2 2 1 0 a a    3 A 

3 1 0 1 A a a     

     2 4 6 8 2016 x x x x     

2 10 21 x x  

        2 2 ( ) 2 4 6 8 2016 10 16 10 24 2016 P x x x x x x x x x            

2 10 21 ( 3; 7) t x x t t     

DeThi.edu.vn

Do đó cho ta số dư là . Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Hướng dẫn

a) Đặt AB = AC = a, DB = AE = x ( ) Ta có:

Vậy DE nhỏ nhất bằng

Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC.

b) Diện tích của tam giác ABC là:

Diện tích tam giác ADE là:

Khi đó diện tích của tứ giác BDEC là:

E

D

C

B

A

  

2 ( ) 5 3 2016 2 2001 P x t t t t       

2 2 2001 t t   2001

0 x a  

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

AD AE DE

a x x DE

DE a ax x x

DE a ax x

 

  

    

   

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2. . 2 4 2

2 2 2

2

a a a DE x x

a a DE x

a DE

          

         

 

2

2 2 a a x  

2 1 2 a

  1 . 2 a x x 

  2

2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

a a x x

a ax x

 

  

DeThi.edu.vn