Đề thi olympic huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2010-2011 - Phòng giáo dục và đào tạo Đức Thọ (Có đáp án)

phòng giáo dục - đào tạo đức thọ đề thi olympic huyện năm học 2010 – 2011

Môn toán lớp 8. Thời gian: 120 phút

Bài 1: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2) Cho và . Tính S = Bài 2: 1) Giải phương trình:

2) Có tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho

Bài 3: Rút gọn biểu thức A =

Bài 4: Cho ABC vuông tại A, có AB < AC. Kẻ phân giác AD. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E, CM cắt DN tại F.

1) Chứng minh rằng EF // BC 2) Chứng minh rằng K là trực tâm của AEF 3) Tính số đo của Bài 5: Cho a, b, c, d, e > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lưu ý: Học sinh không được sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào

----- Hết -----

Lời giải tóm tắt

Bài 1: (5 điểm)

1) (3 điểm) = (1 ®)

= (1 ®)

= (1 ®)

2) (2 điểm) Ta có   (0,5 ®)

và   (0,5 ®)

Suy ra 125 = . Do đó S = = 5 (1 ®)

Bài 2: (5 điểm)

1) (3 điểm)   (1,5 ®)

Vì ; (0,5 ®)

Nên phương trình tương đương  x = 1 (0,5 ®)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 (0,5 ®)

3 3 3 a b c 3abc   

3 2 a 3ab 5   3 2 b 3a b 10   2 2 a b 

8 4 2 x 2x x 2x 2 0     

6 n 2011 n 26 21  

3 3 3

3 3 3 2 1 3 1 2011 1 ... 2 1 3 1 2011 1         

¶ BID

    a b c d a b c a b P abcde

   

3 3 3 a b c 3abc        3 3 a b 3ab a b c 3abc     

       2 2 a b c a b c a b c 3ab a b c               2 2 2 a b c a b c ab bc ac      

3 2 a 3ab 5    

2 3 2 a 3ab 25   6 4 2 2 4 a 6a b 9a b 25   

3 2 b 3a b 10    

2 3 2 b 3a b 100   6 2 4 4 2 b 6a b 9a b 100   

 

3 6 6 2 4 4 2 2 2 a b 3a b 3a b a b      2 2 a b 

8 4 2 x 2x x 2x 2 0      8 4 2 x 2x 1 x 2x 1 0         2 2 4x 1 x 1 0    

 

2 4x 1 0    

2 x 1 0  

4x 1 0 x 1 0

   

DeThi.edu.vn

2) (2 điểm). Giả sử tồn tại n  N* sao cho . Ta có 26n có tận cùng là 6 và 212011 có tận cùng là 1. Vậy n6 có tận cùng phải là 5, do đó n có tận cùng là 5. (0,5 ®)

Khi đó có dạng (0,5 ®)

  , vô lÝ (0,5 ®)

Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn bài toán (0,5 ®)

Bài 3: (2 điểm). Nhận xét rằng mỗi số hạng của tổng có dạng

với k = 2, 3, …, 2011 (1 ®)

Ta có

=

= (1 ®)

Bài 4: (6 điểm). Vẽ hình không chính xác không cho điểm cả bài

1) (2 ®). Chứng minh được tứ giác AMDN

là hình vuông (0,5 ®)

(1®)

hay  EF // DC

hay EF // BC (0,5 ®)

2) (2 ®). Theo định lÝ Thales ta có

(0,5 ®)

hay và (0,5 ®)

 NAF  ABN   AF  BN. (0,5 ®) Lập luận tương tự có AE  CM. Vậy K là trực tâm của AEF (0,5 ®)

3) (2 ®). K là trực tâm của AEF  AK  EF mà EF // BC  AK  BC (0,5 ®) Kết hợp với DM  AB  I là trực tâm của ABD. Vậy (1 ®)

Bài 5: (2 điểm).

6 n 2011 n 26 21  

6 n 2011 n 26 21      

6 402 ...5 5 ...5 26 21 .21  

  ...25 ...76 ...01 .21   ...01 ...21 

     

    

  

2 2 3

3 2 2 k 1 k 1 k 1 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k k 1

                  

   

   

   

2 2 2

2 2 2 1. 3 3 1 2. 4 4 1 2010. 2012 2012 1 S . ... 3 2 2 1 4 3 3 1 2012 2011 2011 1

    

   

       

2 2 2

2 2 2 1.2...2010. 3 3 1 4 4 1 ... 2012 2012 1 S

3.4...2012 2 2 1 3 3 1 ... 2011 2011 1

    

   

  2 2012 2011

3.1006.2011



MF BD BM BM ME FC DC MA DN ED    

MF ME FC ED 

AN DN NC NF NF AB AB AC AM AN    

AN NF AB AN  · · 0 BAN ANF 90  

· · NAF NBA 

¶ · 0 0 0 0 BID 180 BAD 180 45 135     

A

N

C D B

M

E F

K

I

DeThi.edu.vn