Bài tập Toán 8 - Tam giác đồng dạng (Có lời giải)

BÀI TÂP CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Bài 1: Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF.

Chứng minh rằng:

a) AH = AK b) AH2 = BH. CK

Giải : Đặt AB = c, AC = b.

BD // AC (cùng vuông góc với AB)

nên AH AC b AH b AH b HB BD c HB c HB + AH b + c      

Hay AH b AH b b.c AH AB b + c c b + c b + c      (1)

AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên AK AB c AK c AK c KC CF b KC b KC + AK b + c      

Hay AK b AK c b.c AK AC b + c b b + c b + c      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK

b) Từ AH AC b HB BD c   và AK AB c KC CF b   suy ra AH KC AH KC HB AK HB AH    (Vì AH = AK)

 AH2 = BH . KC

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:

a) AE2 = EK. EG b) 1 1 1 AE AK AG  

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi

Giải

a) Vì ABCD là hình bình hành và K  BC nên

AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

2 EK EB AE EK AE = = AE EK.EG AE ED EG AE EG    

H

F K

D

C B

A

G

b

a

E K

D C

B A

DeThi.edu.vn

Q

P O

N M

H F

G

E

D

C

B

A

b) Ta có: AE DE = AK DB ; AE BE = AG BD nên

AE AE BE DE BD 1 1 = 1 AE 1 AK AG BD DB BD AK AG              1 1 1 AE AK AG   (đpcm)

c) Ta có: BK AB BK a = = KC CG KC CG  (1); KC CG KC CG = = AD DG b DG  (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK a = BK. DG = ab b DG  không đổi

(Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)

Bài 3: Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:

a) EG = FH b) EG vuông góc với FH

Giải Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG

Ta có CM = 1

2 CF = 1

3 BC BM 1 = BC 3  BE BM 1 = = BA BC 3

EM // AC  EM BM 2 2 = EM = AC AC BE 3 3   (1)

Tương tự, ta có: NF // BD  NF CF 2 2 = NF = BD BD CB 3 3   (2)

mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)

Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = 1

3 AC (b)

Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD EM  MG  · 0 EMG = 90 (4)

Tương tự, ta có: · 0 FNH = 90 (5) Từ (4) và (5) suy ra · · 0 EMG = FNH = 90 (c)

Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c)  EG = FH

b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì

· 0 PQF = 90  · · 0 QPF + QFP = 90 mà · · QPF = OPE (đối đỉnh), · · OEP = QFP ( EMG =  FNH)

Suy ra · · 0 EOP = PQF = 90  EO  OP  EG  FH

Bài 4: Cho ABC ( AB < AC)

DeThi.edu.vn

E

D

M

K

C B

A

E

D

C

B

A

các phân giác BD, CE

a) Đường thẳng qua D và song song với BC

cắt AB ở K, chứng minh E nằm giữa B và K

b) Chứng minh: CD > DE > BE

Giải a) BD là phân giác nên

AD AB AC AE AD AE = < = DC BC BC EB DC EB   (1)

Mặt khác KD // BC nên AD AK DC KB  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK AE AK + KB AE + EB KB EB KB EB   

 AB AB KB > EB KB EB   E nằm giữa K và B

b) Gọi M là giao điểm của DE và CB.

Ta có · · CBD = KDB(Góc so le trong) · · KBD = KDB

mà E nằm giữa K và B nên ·KDB > ·EDB ·KBD > ·EDB  ·EBD > ·EDB  EB < DE

Ta lại có · · · · CBD + ECB = EDB + DEC ·DEC > ·ECB ·DEC > ·DCE (Vì ·DCE = ·ECB)

Suy ra CD > ED  CD > ED > BE

Bài 5: Cho ABC có µ µ B = 2 C, AB = 8 cm, BC = 10 cm.

a)Tính AC

b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu?

Giải

Cách 1: Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC

ACD ABC (g.g)  AC AD AB AC 

2 AC AB. AD =AB.(AB + BD)   = AB(AB + BC)

= 8(10 + 8) = 144  AC = 12 cm

Cách 2: Vẽ tia phân giác BE của ·ABC ABE ACB

DeThi.edu.vn