Bài tập Đại số Lớp 8 Bất đẳng thức Bunhia Copxky

- 1 -

. Bất đẳng thức Bunhia copxky

I.Kiến thức cơ bản.

Định lý: Với mọi số a1, a2, …an, b1, b2 , …., bn ta luôn có:

( )2 (a +a +…+a )(b +b +…+b )

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:

Chứng minh:

(a1t-b1)2 0

(a2t-b2)2 0

………...

(ant-bn)2 0

( +….+ )t2-2(ab+ab+…+ab)t+( +….+ ) 0

Đặt A= +….+

B=ab+ab+ab

C= +….+

Ta có: At2-2Bt+C 0 với mọi t

A[(t-B)2- ] 0 với mọi t

B2-AC 0 B2 AC (điều phải chứng minh).

II. Một số ví dụ:

1)Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác.

Ví dụ 1. Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

với a, b, c > 0 ta có : a+b+c 3 (bất đẳng thức Cosi)

a2+b2+c2 (a+b+c)2 Cosi-Bunhia

Hay )2 ( ) 3 = (đpcm)

Ví dụ 2. Cho a2+b2+c2=1 và m2+n2 = 1

n nb a b a b a    ... 2 2 1 1  2 1

2 2

2 n

2 1

2 2

2 n

n

n b a b a b a    ....

2

2

1

1







 2 1a 2 2 a 2 n a  2 1b 2 2b 2 nb 

 2 1a 2 2 a 2 n a

 2 1b 2 2b 2 nb



A

AC B

4

2  

  

a c c b b a a c c b b a      2

2

2

2

2

2

 3 abc

3

1

c b b a a c c b b a      3 1 ( 2

2

2

2

2

2

3

1

a c c b b a   3 . . a c c b b a

a c c b b a  

DeThi.edu.vn

- 2 -

Chứng minh rằng:

Ta có: m2+n2+1 = 2 do đó: (am+bn+c)2 (a2+b2+c2)( m2+n2+1)=1.2 (áp dụng BĐT

Bunhia a,b,c và m,n,1)

(am+bn+c)2 2

(đpcm)

Ví dụ 3.

Cho ba số a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1

Chứng minh rằng a2+b2+c2

Giải:

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 và a,b,c ta có:

(12+12+12)( a2+b2+c2) (1. a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1

3( a2+b2+c2) 1

a2+b2+c2

Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c=

2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất

Ví dụ 4. Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x4+y4+z4

Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho 6 số

a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x

ta có:

1=(xy+yz+zx)2 (x2+y2+z2)( x2+y2+z2) ( x2+y2+z2 ) 1

Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x2; b2=y2; b3=z2

1 (x2+y2+z2)2 (1+1+1) (x4+y4+z4) ( x4+y4+z4 )

Dấu đẳng thức xẩy ra khi: và x2=y2=z2 x=y=z=

Vậy Pmin =

Ví dụ 5:

c bn am    2



 

 c bn am    2

3

1



 

 3

1

3 1

  

   3

1

x z z y y x    3

3 

3 1

DeThi.edu.vn

- 3 -

Cho các số dương a,b,c và các số dương x,y,z thay đổi sao cho:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+z

Giải:

Ta có:

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

( )2

( )2 x+y+z

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:

=1:( )

Đến đây dễ dàng suy ra:

x=

y=

z=

Khi đó

Amin=( )2

3.Dùng bất đẳng thức cosi-bunhia copxky vào giải

phương trình.

I. Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình + =x2 - 10x + 27

Giải: Đk:4 x 6

Ta có VP= x2 - 10x + 27= x2 - 10x + 25+2=(x-5)2+2 2

VT2=( + )2 (12+12) ( )2 +( )2

1    z c y b x a

z z c y y b x x a c b a . . .     

c b a    ) )( ( z y x z c y b x a    

 c b a   

z z c y y b x x a : : :  

  

     y x

c b a z

c y

b x

a

c b a  

) ( c b a a  

) ( c b a b  

) ( c b a c  

c b a  

4  x 6  x

 



4  x 6  x   4  x 6  x 

DeThi.edu.vn