Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng giáo dục và đào tạo Phù Ninh (Có đáp án)

Câu 1. Chứng minh rằng: a) Nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9. b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Câu 2. Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của biểu thức B tại

c) Tìm giá trị của x để Câu 3 a) Giải phương trình

b) Cho và . Chứng minh rằng .

Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì? Tại sao? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB và AD. Chứng minh và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

d) Giả sử và , . Tính độ dài các cạnh của hình chữ

nhật ABCD. Câu 5. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện:

và

3 2

2 3 1 1 : 1 1 x x B x x x x x              

2 13 x 

0 B 

      3 3 3 2 2 5 6 1 7 5 x x x x      

1 x y z a b c    0 a b c x y z   

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c   

/ / EF AC

CP BD  2,4 CP cm  9 16 PD

PB 

11 x y z    8 9 10 100 x y z   

DeThi.edu.vn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU 8 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Câu 1: (4 điểm)

Câu 2 ( 4,0 điểm ) .

a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì:

A = ) 1( ) 1 )( 1(

) 1 )( 1( : 1 1

2

2 3

x x x x x

x x x

x x x

    

  

  

= ) 2 1 )( 1(

) 1 )( 1( : 1

) 1 )( 1(

2

2

x x x

x x x

x x x x

  

  

   

) 1(

1 :) 1( 2

x x  

= ) 1 )( 1 ( 2 x x  

0,5

1,0

0,5

b, (1 điểm) Tại x = 3 2 1  =

3 5  thỡ A =              ) 3 5 ( 1 ) 3 5 ( 1 2 0,25

= ) 3 5 1 )( 9 25 1 (   27

2 10 27 272 3 8 . 9 34    0,75

c, (1 điểm) Với x khác -1 và 1 thì B < 0 khi và chỉ khi 0 ) 1 )( 1( 2    x x (1) 0,25

a. (2,0)

Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3. 0,25 Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)  ab b ab a 3 ) 2 ( 2 2    = = (a + b)  ab b a 3 ) ( 2   0,5 Vì a + b chia hết cho 3 nên (a + b)2 - 3ab chia hết cho 3; Do vậy (a + b)  ab b a 3 ) ( 2   chia hết cho 9

0,25 0,5 0,25 0,5 0,5

b. (2,0)

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3 (n N). Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*) Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương

0,25 0,25 0,5 0,25 0,25

0,5





 

DeThi.edu.vn

Vì 0 1 2  x với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 0 1  x 1  x

KL: B < 0 khi và chỉ khi x > 1

0,5

0,25

Câu 3: (4,0 điểm)

Câu 4. (6,0 điểm):

Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,25

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. PO là đường trung bình của tam giác CAM (... ) AM//PO

 Tứ giác AMDB là hình thang. 1,0 b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA. Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1,75

c) Chứng minh MAF ~ DBA (g-g) nên => không đổi. 1,0

a. (2,0)

Đặt x2 - 5x + 6 = a, 1 - x2 = b thì a + b = 7 - 5x Phương trình trở thành a3 + b3 = (a + b)3 Biến đổi thành ab(a + b) = 0 <=> a = 0 hoặc b = 0 hoặc a + b = 0 Từ đó tìm được S =   2; 3; -1; 1; 1,2

0,5

0,5 1,0

b (2,0)

Từ :

ayz + bxz + cxy = 0

Ta có :

0,5

0,5

0,5

0,5

  AD

AB FA MF 

ayz+bxz+cxy 0 0 a b c x y z xyz     



2 1 ( ) 1 x y z x y z a b c a b c      

2 2 2

2 2 2 2( ) 1 x y z xy xz yz a b c ab ac bc       

2 2 2

2 2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc       

2 2 2

2 2 2 1( ) x y z dfcm a b c    

A B

C D

O M

P

I

E

F

DeThi.edu.vn