Tuyển tập đề học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Khối 9 - Năm học 2022-2023 - Vũ Ngọc Thành

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Tỉnh Hà Tĩnh

• Giáo viên góp đề: Nguyễn Dương Quang Minh • Giáo viên góp đề: Nguyễn Duy Hoàng • Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện.

I.PHẦN GHI KẾT QUẢ:

Câu 1. Cho 2 5 x = + . Tính giá trị biểu thức 5 4 3 2 5 18 10 13 3 4 P x x x x x = − − − + + .

Câu 2. Cho biểu thức 1 2 5 x 1 2 x C : 1 x x 1 1 x x 1

  − − = + −     − − − +   . Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để

giá trị của biểu thức C là số nguyên.

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức

4 4 4 4

4 4 4 4

1 1 1 1 1 3 5 29 4 4 4 4 A 1 1 1 1 2 4 6 30 4 4 4 4

      + + + … +             =       + + + +             ⋯ .

Câu 4. Tìm số tự nhiên n để 2 B n 4n 2013 = + + là số chính phương.

Câu 5. Gọi M là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng ( ) y m 2 x m 5 = + + − với

m là tham số. Khi OM đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của m bằng bao nhiêu?

Câu 6. Cho các số thực dương ,a b thỏa mãn 3 2 2 3 6 0 a a b ab b − + − = . Tính giá trị của biều thức

4 4

4 4 4 P 4 a b b a − = − .

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH . Biết rằng 3 AH ,BC 4BH 2 = = . Tính diện

tích tam giác ABC .

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có 4AB 3AC,BC 25 = = . Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam

giác ABC sao cho D thuộc cạnh AB , E thuộc cạnh AC , F và G thuộc cạnh BC . Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật DEFG .

Câu 9. Cho ,a b không âm thỏa mãn 2 4,2 3 6 a b a b + ≤ + ≤ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 P a 2a b = − − .

Câu 10. Giải phương trình 2 3 33 3 x 2x 7 x + + = + .

II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày Lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11. Giải hệ phương trình

( )

2 2

2

2 1

2 1 1 2

xy x y x y

x y x x

 + + =  +   + + − − = 

9 Học sinh giỏi

DeThi.edu.vn

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 12. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R = . Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (

M khác A,B ), các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn ( ) O cắt nhau tại K . Gọi E và

giao điềm của AM và OK . Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N .

a) Tính . BM AN theo R .

b) Vẽ MH vuông góc với AB tại H . Gọi F là giao điềm của BK và MH . Chứng minh rằng

EF song song với AB và BH.OK OE AB = ⋅ .

Câu 13. Cho các số thực không âm x, y,z thỏa mãn 3 3 3 x y z 3 + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )

3 3 3 xy yz zx x y z P 5 xy yz zx 1 + + + + + = + + + .

---Hết---

DeThi.edu.vn

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

HƯỚNG DẪN GIẢI

• Giáo viên góp đề: Nguyễn Dương Quang Minh • Giáo viên góp đề: Nguyễn Duy Hoàng • Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện.

Câu 1. Cho 2 5 x = + . Tính giá trị biểu thức 5 4 3 2 5 18 10 13 3 4 P x x x x x = − − − + + .

Lời giải

Ta có 2 2 x 2 5 (x 2) 5 x 4x 1 0 = + ⇔ − = ⇔ − −= , do đó

5 4 3 4 3 2 3 2 2 P 5x 20x 5x 2x 8x 2x 3x 12x 3x x 4x 1 10x 5 = − − + − − + − − + − −+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 P 5x x 4x 1 2x x 4x 1 3 x 4x 1 x 4x 1 10 2 5 5 x = − − + − − + − − + − − + + +

25 10 5 P = + .

Câu 2. Cho biểu thức 1 2 5 x 1 2 x C : 1 x x 1 1 x x 1

  − − = + −     − − − +   . Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để

giá trị của biểu thức C là số nguyên.

Lời giải

ĐKXĐ: 1 x 0;x 1;x 4 ≥ ≠ ≠

Ta có 2 C

1 2 x = − . Để C Z ∈ thì ( ) { } { } 1 2 x U 2 2; 1;1;2 x 1;0 − ∈ = − − ⇔ ∈

Đối chiếu ĐKXĐ ta có x 0 = .

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức

4 4 4 4

4 4 4 4

1 1 1 1 1 3 5 29 4 4 4 4 A 1 1 1 1 2 4 6 30 4 4 4 4

      + + + … +             =

      + + + +             ⋯ .

Lời giải

Với * n ∈ℕ, ta có

2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n 4 4 2 2 2      + = + + − = + − = − + + +          

lần lượt thay n 1,3,5, ,29 = …

Ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 29 29 29 29 2 2 2 2 2 2 A 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 30 30 30 30 2 2 …