Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi môn Toán Khối 9 (Có đáp án)

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

Thời gian làm bài: 120 phút -------------------------------------- I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Bài 1. Rút gọn biểu thức 4 5 3 5 48 10 7 4 3 M     

Bài 2: Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện:

3 3 3 ( ) ( ) ( ) 378 a b b c c a       .

Tính giá trị của biểu thức | | | | | | A a b b c c a       .

Bài 3. Tìm các số nguyên a; b thỏa mãn 5 4 18 2 3 2 2 a b a b      Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6 còn chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11 Bài 5. Biết 2 2 x y x y    . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của C x y  

Bài 6. Giải phương trình: 2 9 2 3 0 x x     Bài 7. Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng a + b – 2 lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Bài 8. Giả sử điểm M nằm trong hình chữ nhật ABCD, biết MA = 4cm, MB = 5 cm, MC = 6cm. Tính MD Bài 9. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD ở I. Biết IB = 10 5 cm, ID = 5 5 cm, tính diện tích tam giác ABC.

Bài 10. Cho hình thang ABCD có µ µ µ 0 0 A D 90 ,B 60 ,CD 30cm,CA CB = = = = ^ . Tính diện tích của hình thang. II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Bài 11. (1,5điểm)

Rút gọn biểu thức 1 2 5 : 2 2 1 2 x x x x x P

x x x x x x

                    

, với 0, 4. x x  

Bài 12. (1,5điểm)

Cho 3 3 7 50 , 7 50. a b     Chứng minh rằng các biểu thức M a b   và 7 7 N a b   có giá trị đều là số chẵn.

Bài 13: (2 điểm) Giải hệ phương trình

2

2

1 2 1 (1)

1 2 1 (2)

x x y

y y x

    

    

.

Bài 14: (4 điểm):

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng .a Gọi I là trung điểm của cạnh . AB Điểm H thuộc cạnh DI sao cho AH vuông góc với DI

a) Chứng minh rằng CHD  cân b) Tính diện tích CHD  Bài 15: (1điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác màu.

-----------hết-----------

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM Phần I. Trắc nghiệm

Bài Nội dung Đáp án Bài 1

 

 

) 4 5 3 5 48 10 7 4 3 4 5 3 5 48 10 2 3

4 5 3 5 28 10 3 4 5 3 5 5 3 4 25 9 3

a M          

           

Bài 2 Đặt ; ; 0 a b x b c y c a z x y z           Ta có: 3 3 3 378 3 378 126 x y z xyz xyz        Do , , x y z là số nguyên có tồng bằng 0 và 126 ( 2) ( 7).9 xyz x y z       nên

2

7

9

x

y

z

      

hoặc các hoán vị của , , x y z .

Suy ra: | | | | | | 18 A a b b c c a        .

18

Bài 3 1) ĐK: 2 2 , , 0, 2 a b a b a b      ¢ ¢

Ta có: 5 4 18 2 3 2 2 a b a b     

, với

   

  

   

 

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

5 2 4 2

18 2 3 2

9 2 3 18 2 2

9 2 3 6 18 2 2

18 36 9 2 3 6

a b a b

a b

a b a b

a b a b a b

a b b a b a

      

    

     

     

Nếu

2 2 2 2

2 2 3 6 18 36 9 0 2 18 36 9 a b a a b b a b b         

Vì ,a b nguyên nên

2 2

2 2 3 6 2 18 36 9 a b a a b b        ¤ ¤ , vô lý vì 2 là số vô tỉ

Vì thế ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

3 3 3 6 18 36 9 0 36 9 0 2 2 3 6 0 3 6 3 6

a b b a b a b b b b

a b a a b a a b

                                

Thay 3

2

b a  vào 2 2 3 6 0, a b a    ta có:

2 2 2 2 0( ) 9 3 3. 6 0 27 24 6 0 2( ) 3( ) 4 2

b ktm b b b b b b b tm a tm              Vậy 3, 2 a b   thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài 4 Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có: 809

DeThi.edu.vn