Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Nguyễn Dương Hải (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẮK LẮK

--------- ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN – THCS Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

Ngày thi: 29/03/2023 Bài 1. (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:  

2 2 3 5 2 12 24 8 4 2 54 108 216 6 3 2

       

.

b) Giải phương trình: 4 3 2 2 4 4 0      x x x x . Bài 2. (4,0 điểm)

1) Cho parabol  P y x2 :  và đường thẳng    d y m x m m 2 : 2 1     . Tìm m để  d cắt  P tại

hai điểm phân biệt A B , sao cho A B , nằm ở hai phía trục tung.

2) Cho hàm số y x2 4  có đồ thị là parabol  P và một điểm   Q 0; 9  . Hãy tìm hai điểm M N ,

trên  P và có tọa độ là những số nguyên sao cho tứ giác OMQN là một tứ giác lồi có diện tích bằng

cm2 27

2 (đơn vị trên các trục tọa độ là cm).

Bài 3. (4,0 điểm)

1) Tìm cặp số nguyên   x y ; thỏa x x y x xy y y 3 2 2 2 2 4 2 2 2 0        .

2) Tìm số chính phương abcd , biết rằng ab cd 1  . Bài 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn   O R ; , tiếp tuyến tại A của  O cắt BC tại M . Kẻ

tiếp tuyến MD của   O D A  . Gọi G E F , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC AB AC , , .

Chứng minh rằng:

1) MA MB MC 2   và  BC R BAC 2 sin  .

2) AB DB AC DC  .

3) G là trung điểm EF . Bài 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM vuông góc với BC, IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB   M BC N AC K AB , ,    . Xác định vị trí điểm I sao cho

tổng IM IN IK 2 2 2   nhỏ nhất. Bài 6. (2,0 điểm)

Cho các số thực dương a b c , , . Chứng minh rằng:

        

2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3          a b c a b a c b c b a c a c b .

---------------- Hết ----------------

DeThi.edu.vn

BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1. (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:  

2 2 3 5 2 12 24 8 4 2 54 108 216 6 3 2

       

.

b) Giải phương trình: 4 3 2 2 4 4 0      x x x x .

1)  

2 2 3 5 2 12 24 8 4 2 4 3 2 6 2 6 8 4 2 54 108 216 6 3 2 3 6 6 3 6 6 6 3 2

              

;

   

   

2 3 2 2 4 2 2 1 1 2 1 4 1 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 1

          

.

2)     4 3 2 2

2 2

1 0 1

2 4 4 0 1 2 2 0 2 0 2

2 0 1 7 0 2 4

                                         

x x

x x x x x x x x x x

x x

x

.

Vậy phương trình có hai nghiệm x x 1 2 1; 2  . Bài 2. (4,0 điểm)

1) Cho parabol  P y x2 :  và đường thẳng    d y m x m m 2 : 2 1     . Tìm m để  d cắt  P tại

hai điểm phân biệt A B , sao cho A B , nằm ở hai phía trục tung.

2) Cho hàm số y x2 4  có đồ thị là parabol  P và một điểm   Q 0; 9  . Hãy tìm hai điểm M N ,

trên  P và có tọa độ là những số nguyên sao cho tứ giác OMQN là một tứ giác lồi có diện tích bằng

cm2 27

2 (đơn vị trên các trục tọa độ là cm).

1) Phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d là:

     x m x m m x m x m m 2 2 2 2 2 1 2 1 0 *           .

 d cắt  P tại hai điểm phân biệt A B , sao cho A B , nằm ở hai phía trục tung  *  có hai nghiệm trái

dấu   P m m m m m 2 0 0 1 0 1 0           .

2) Giả sử   M N M N x x x x , 0, 0   lần lượt là hoành độ các điểm M N , thuộc  P y x2 : 4 

Ta có:   OMQN M N M N S x x x x 1 27 9 3 2 2        .

Do M N x x , là số nguyên   M N x x 0, 0   nên có các trường hợp sau:

+)   M N M N x x y y

2 2 1; 2 4 1 4; 4 2 16       .

+)   M N M N x x y y

2 2 2; 1 4 2 16; 4 1 4      .

Vậy các điểm M N , cần tìm là:     M N 1; 4 , 2; 16    hoặc     M N 2; 16 , 1; 4    .

Bài 3. (4,0 điểm)

1) Tìm cặp số nguyên   x y ; thỏa x x y x xy y y 3 2 2 2 2 4 2 2 2 0        .

2) Tìm số chính phương abcd , biết rằng ab cd 1  . 1)     x x y x xy y y x x y y x y 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 0 2 2 1 2 1 2 0                .

DeThi.edu.vn