Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

Thời gian làm bài: 120 phút

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Bài 1. Kết quả rút gọn của biểu thức: P = 4 7 4 7 2     Bài 2. Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện: 2 2 a 3 7 0 2 ab b    , 2a b  ; 2a b 

Tính giá trị của biểu thức: a 3 a 5 a - 8 2 2 2a b b b b M     

Bài 3. Cho x 2 1

2 1

 



là một nghiệm của phương trình: ax2 + bx + 1 = 0. Với a, b là

các số hữu tỉ. Tìm a và b.

Bài 4: Cho  

3 3 1 10 6 3

21 4 5 3 a

  

 

. Tính giá trị biểu thức  

2022 2 4 2 A a a   

Bài 5. Phương trình x+3y =200 có bao nhiêu nghiệm tự nhiên?

Bài 6. Cho góc nhọn  có tan 2  . Tính

2 2

2 sin sin .cos cos cos 2 3

sin .cos 1 P             Bài 7. Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 người thì còn thừa một người. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 người Bài 8. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH = 6cm, AC = 6 2 cm. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. Bài 9. Tam giác ABC có góc A bằng 60, AB = 4cm, AC = 5cm. Tính BC và diện tích tam giác ABC. Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HK, HE lần lượt là các đường cao của các tam giác vuông HAB, HAC, biết BK = 8cm; CE = 27cm. Tính BC? II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Bài 11. a. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2 2 14 2 x y xy x y    

b. Giải hệ phương trình:

2 2 2 2 2

1 2.

x xy y y x

y x y x

          Bài 12. Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.

a. Chứng minh:

b. Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3

c. Giả sử SABC = 120 cm2 và · 0 60 BAC  Hãy tính diện tích tam giác ADE?

Bài 13. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các biểu thức: a. 3 4 3 8 3 P x x     ; b. 8 (5 ) 3 Q x x x x      Hết./.

2 2 2

2 2 2 KC AC CB BA KB CB BA AC     

1 3

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM Phần I. Trắc nghiệm

Bài Nội dung Điểm Bài 1 P =0 1đ

Bài 2 M=2 1đ

Bài 3 1

6 a b

   

1đ

Bài 4 A=1 1đ

Bài 5 67 nghiệm tự nhiên 1đ

Bài 6 15

8 P  1đ

Bài 7 529 hs. 1đ Bài 8 Chu vi tam giác ABC : 12 2 12  (cm) ; diện tích tam giác ABC là : 36cm2 ;

1đ

Bài 9 21 BC cm  ; Diện tịch tam giác ABC = 1 . .sin 2 AB AC A= 2 5 3cm 1đ

Bài 10 Ta chứng minh : 3 3 3 2 2 2 13 13 BK CE BC BC cm     1đ

Phần II. Tự luận

Bài Nội dung Điểm

Bài 11

a) 2 2 2 14 2 x y xy x y     ( )( 2) 14 x y xy     Do x, y nguyên đương nên 2 3 xy   do đó ta có 2 trường hợp

TH1: 1 4 2 14 3 x y x xy y             

TH2: 2 2

2 7 5

x y x y

xy xy

             

không có nghiệm nguyên dương

b) Giải: ĐK: 1 0. x y   Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung

2 2 2 (1) 2 2 0

(3) ( )( 2 2) 0 2 2 (4)

x y xy y y x

x y x y x y x y

      

          Từ (3) và (2) ta có x=y=1.

3đ

1đ

DeThi.edu.vn