Đề học sinh giỏi Toán 9 - Năm học 2016-2017

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG

NĂM HỌC:2016-2017

Câu 1: (5 điểm)

a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình 2017 x y   b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương. Câu 2: (4 điểm)

Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( ) ; O R , ( ; ) M O R  . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 6 MA MB MC R    Câu 3: (3 điểm)

a) Giải phương trình:

 

2

2 2 1 1 3 9 4 3 9

x

x x      

b) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

1 ( ) 1 5

1 ( ) 1 49

x y xy

x y x y

                         Câu 4: (3 điểm)

a) Chứng minh với mọi số , , , a b c d ta luôn có:

2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) a c b d ab cd    

b) Cho , 0 a b  chứng minh rằng:

2 2 1 (4 3 )(3 4 ) 25 a b a b a b     Câu 5: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi , , , M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , AB BC CA DA. Chứng minh rằng:

( )( . 4 ) 1

ABCD S MP NQ AB CD AD BC    

Câu 6: (2,0 điểm)

Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ?

DeThi.edu.vn

LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG

NĂM HỌC 2016-2017

Người giải đề: Triệu Tiến Tuấn

Câu 1: (5 điểm)

a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình 2017 x y   b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương.

Lời giải

a) Phương trình: 2 2017 ( , 0) 2017 4034 x y x y x y y       

Do ,x y Z y Z   

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: 2 2 ; (2017 ) x a y a   

b) Ta có: 11 0 xxyy x y  là số chính phương nên

0 11 100 11 99 11

11 11 0

0

11

x y x y x x y

x y x y x y

x y

x y

    

             

  



Ta có: 2 11 0 11(99 ) 11(99 11) 11 (9 1) xxyy x y x x y x x        

9 1 x   là số chính phương.

7 4 x y    

Vậy 7744; 0000 xxyy xxyy  

Câu 2: (4 điểm)

Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( ) ; O R , ( ; ) M O R  . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 6 MA MB MC R   

Lời giải

DeThi.edu.vn

H

I O

K

A

C B

M

Giả sử » M AC 

Dễ thấy: MA MC MB   (trên MB lấy I sao cho MI MC  , ta chứng minh: IB MA  )

Đặt: ; ; MA x MB y MC y x    . Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( ) AM BM CM x y x y x y xy         

Kẻ 2 2 3 2 4 x AH BM MH AH x     

Mà 2 x BH MB MH y    

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 (2) 4 4

x BH MB MH y

AB AH BH x y x xy x y xy

   

         

Từ 2 2 2 2 2 2 (1),(2) 2 2( 3) 6 ( ) AM BM CM AB R R dpcm      

Câu 3: (3 điểm)

a) Giải phương trình:

 

2

2 2 1 1 3 9 4 3 9

x

x x      

b) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

1 ( ) 1 5

1 ( ) 1 49

x y xy

x y x y

                        

Lời giải

a) Phương trình:

 

2

2 2 1 1 3 9 4 3 9

x

x x      

Điều kiện:

2

2 9 0 3 3 0 3 9 0

x x x x

             

DeThi.edu.vn

 

      

   

   

 

2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 2 2

2 2 2

3 9 3 9 1 1 1 1 3 9 4 3 9 3 9 4 3 9

1 3 9 1 4 3 9

4 3 9 4 3 9 1 0

1 5 11 3 9 9 2 2 4 11 ( ) 2

x x x

x x x x

x

x

x x

x x x

x tmdk

                

      

      

        

 

b) Hệ phương trình:

2 2

2 2

1 ( ) 1 5

: , 0 1 ( ) 1 49

x y xy dk x y

x y x y

                         

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 5 5

1 1 1 1 49 53

x y x y x y x y

                                          

Đặt 1 1 ; x a y b x y    ta được:

2 2 2 5 5 7; 2

2; 7 53 2 10 28 0

a b a b b a

b a a b b b

                      

•

1 1 2 2

7 3 5 1 7 7 2

x x a x b y y y

                        

•

1 7 7 3 5 7

2 1 2 2 1

x a x x b y y y

                        Câu 4: (3 điểm)

a) Chứng minh với mọi số , , , a b c d ta luôn có:

2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) a c b d ab cd    

b) Cho , 0 a b  chứng minh rằng:

2 2 1 (4 3 )(3 4 ) 25 a b a …