Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Lớp 9 THCS môn Toán- Năm học 2010-2011

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi: TOÁN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 2 n n 2   không chia hết cho 3.

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 n 17  là một số chính phương.

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2 x 4x+5 = 2 2x+3 

b) Giải hệ phương trình:

2

2 2x+y = x

2y+x = y



Câu 3 (3,0 điểm).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 4x+3 A x 1  

Câu 4 (4,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE,

CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = 2 BC

b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K(O).

Câu 5 (2,5 điểm).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung

BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I

cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại

F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

- - - Hết - - -

Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: .....................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2010 - 2011

ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN - Bảng B -------------------------------------------

Câu: Nội dung 1.

*) Nếu 2 n 3 n n 3     nên 2 n n 2 3     (1) *) Nếu 2 n 3 n 2 3    

2 n n 2 3      (2)

a, (2,5)

Từ (1) và (2) n Z  thì 2 n n 2 3     Đặt 2 2 m n 17   (m N) 

2 2 m n 17 (m n)(m n) 17 1.17         =17.1 Do m + n > m - n

m n 17 m 9 m n 1 n 8              

b, (2,5)

Vậy với n = 8 ta có 2 2 n 17 64 17 81 9      2.

Giải phương trình 2 x 4x+5=2 2x+3  (1)

Điều kiện: 3 2x+3 0 x - 2   

(1) 2 x 4x+5-2 2x+3 0   

2 x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0   

2 2 (x 1) ( 2x+3 1) 0     

x 1 0

2x+3 1 0

    

x 1 2x+3=1

  



a, (2.5)

x 1   thỏa mãn điều kiện Giải hệ phương trình

2

2 2x+y=x

2y+x=y

 Trừ từng vế 2 phương trình ta có: 2 2 x y x y   

b, (2.5)

(x y)(x y 1) 0     

(1)

(2)

DeThi.edu.vn

x y x y x y 1 0 x 1 y              Ta có:

*) x y x y x(x 3) 0 x 0             Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)

*) 2 2 2 x 1 y x 1 y x 1 y

2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0

                   

(*)

Vì phương trình 2 y y 1 0   vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 3.

Tìmgiá trị nhỏ nhất của 2 4x+3 A x 1  

Ta có:

2

2 2 4x+3 x 4x+4 A 1 x 1 x 1     

2

2 (x 2) A 1 1 x 1     Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2      Vậy min A 1  khi x = -2

4.

H

K

E

I

F O

B

A

C

Gọi I là giao điểm của AH và BC  AI  BC Ta có: BHI BCE (g, g)

BH BI BH.BE BC.BI BC BE     (1)

Ta có: CHI CBF (g, g)

CH CI CH.CF BC.CI CB CF     (2)

a, (2,5)

Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2

Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra · · HCB KCB  b, (2,0) Mà · · FAI HCI  (do tứ giác AFIC nội tiếp)

S S

hoặc x = 3

DeThi.edu.vn