Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Câu1( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 8 3x 5 25 x y y    2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= .4 3 7 n n n   Câu 2( 4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: A= 2 10 30 2 2 6 2 : 2 10 2 2 3 1     

2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn .

2 2 2 x x yz y z z xy a b c     

Chứng minh rằng

2 2 2 a bc b ca c ab x y z     

Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: 2 6x 0 x m    (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 2 2 1 2 12 x x  

2) Giải hệ phương trình:

3 3 3

2 2 8x 27 18

4x 6x

y y

y y

       Câu 4( 7,0 điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB. a) CMR: 2 2 2 2 D HA HB HC H    không đổi. b) CMR : RS PQ là tứ giác nội tiếp. 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh

AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR: D ABC S ≤ 4 MN NP PQ QM AC   

Câu 5( 2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

3 2 3 2a 3 2 6 ab bc ca a b c a b c b c c a b

          

---Hêt—

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn

Câu1.1) 2 8 3x 5 25 x y y   

Z x x y x x y x x y               5 3

25 40 24 9 5 3

25 8 25 8 ) 5 3 (

2 2

Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được  ) 5 ;0 ( ); 7 ;2 ( ); 31 ; 10 ( ) ; (       y x

( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích) 1.2) Với n chẵn n=2k thì

  N m m t n t k k k k A k k k k k                  6 14 1 14 2

1 7 7 1 2 7 ) 9 16 ( 4 ). 1 2 ( 3 4. 2 2 2 2  

Với n lẻ n=2k+1

  N m m n t k k k k A k k k k k                   1 14 7 7 2 7 ) 3 4 ( 4. 2 3 4 ). 1 2 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  

Vậy 6 14   m n hoặc 1 14   m n ( với mọi n ) N  thì A chia hết cho 7

Câu2.1) 2 10 30 2 2 6 2 : 2 10 2 2 3 1     

=

2 1 2

1 3 . 2

1 3 2

1 3 . 4

3 2 4 2

1 3 . 2

3 2 2

1 3 . )1 5 ( 2 2

)1 5 ( 6 )1 5 ( 2 2            

  

2.2)

2 2 2 x x yz y z z xy a b c     

) 3 ( ) 3 ( 2 :

) 2 ( ) 3 ( 2 :

)1( ) 3 ( 2

3 3 3

2

2 3 3 2 2 2 2 2 4

2

3 3 3

2

2 3 3 2 2 2 2 2 4

2

3 3 3

2

2 3 3 2 2 2 2 2 4

2

2 2 2

xyz z y x z

ab c xyz z y z x y x

ab y x xyz Z

c Tuongtu

xyz z y x y

ac b z xy yz y x z x

ac z x xz y y

b Tuongtu

xyz z y x x

bc a yz x xz xy z y

bc z y yz x x

a xy z

c xz y

b yz x

a

  

       

  

       

  

              

Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM

Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm 9 0 /      m (*)

Mặt khác ta phải có 8

2

.

4

2

.

6

12

.

6

2

2 1

1

2 1

2 1

2 1

2 2 2 1

2 1

2 1

   







 



 





 

 

 

 





 

 

 

m

x

m x x

x

x x

m x x

x x

x x

m x x

x x

TM ĐK (*)

3.2)Giải hệ phương trình 

 

 

 

2 2

3 3 3

6 4

18 27 8

y x y x

y y x

HD y =0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có hệ

  

 



 

 

1 6 4

18 27 8

2

2

3 3

y

x y x

y x

Đặt











b y

a x 3 2

ta có hệ

  



   

 

 

 

1

3

3

18

2 2

3 3

ab

b a

ab b a

b a

DeThi.edu.vn