Đêg thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 (Có đáp án)

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012

MÔN: TOÁN Lớp 9 thcs Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012

Câu I (4đ)

Cho biểu thức P = 1 8 3 1 1 1 : 10 3 1 3 1 1 1 x x x x x x x x

æ ö æ ö - + - + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç - + - - - - - è ø è ø 1) Rút gọn P

2) Tính giá trị của P khi x = 4 4

2 2 3

2 2 3

2 2 3

2 2 3



  



Câu II (4đ) Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P).

1) Tính độ dài AB. 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB. Câu III (4đ)

1) Giải hệ phương trình

  

 



 

 

. 2 1

2

2

2

y x y

x y x

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng:

1) ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 2) KH AM. Câu V (2đ) Với 1 ; ; 0   z y x . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

z y x yz x

z xy z

y zx y

x

          

3 1 1 1

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh .......................................................................... SDB .........................

§Ò CHÝNH THøC

DeThi.edu.vn

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 Câu I:

1, C1,

a, 1 8 3 1 1 1 : 10 3 1 3 1 1 1 x x x P x x x x x

æ ö æ ö - + - + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = + - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç - + - - - - - è ø è ø

(ĐK: 1; 10 x x > ¹ ; x ≠ 5)

Đặt x 1 a  ( a ≥ 0)

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3 3 3 3 9 1 2 4 3 : . . 3 3 3 3 3 2 2 2 2 a a a a a a P a a a a a a a a

é ù + - + + ê ú Þ = = = - ê ú + - - + - + + ë û

( )

( ) ( )

3 1 1 2 3 1

2 5 2 1 2

x x x P x x

- - - - = - = - - - +

b,

2 2 4 4 4 4 3 2 2 3 2 2 (3 2 2) (3 2 2) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2

1 2 ( 2 1) 2 (T/M)

x + - = - = + - - = + - - - +

= + - - =

a x 1 2 1 1 (T/m)    

( ) ( ) 3 3.1 1 2 2 2 1 2 2 a P a Þ = - = - = - + + C2,

a, 3 1 9 1 2 1 4 : . 10 1 1 3 x x P x x x

é ù - + - + ê ú = ê ú - - - - ê ú ë û

(ĐK: 1; 10 x x > ¹ )

( ) 1. 1 3 3( 1 3) . 10 2 1 4

x x x P x x

- - - - + = - - +

( )

( ) ( )

3 1 1 2 3 1( 10)( 1 2) 3 1 2(10 )( 1 4) 2 5 2 1 2

x x x x x x P x x x x

- - - - - - - - = = - = - - - - - - +

b) 2 2 4 4 4 4 3 2 2 3 2 2 (3 2 2) (3 2 2) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 x + - = - = + - - = + - - - +

=> x=1 2 ( 2 1) 2 + - - = vì x>1 P = ...  1 P 2 

Câu II: 1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình

x2 + x -2=0 => x = 1 hoặc x = 2 Vậy A(1,-1) và B(-2;-4) hoặc A(-2;-4) vàB(1;-1)  AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 = 18  AB = 3 2 2)Để (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình x2-x+m=0 (1)

DeThi.edu.vn

3

có hai nghiệm phân biệt <=> 0 D > <=> 1 4 m <

Ta có CD2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2 mà    2 1 2 1 1 2 y y x m x m x x       

nên:        2 2 2 2 1 2 1 1 2 y y x m x m x x             Ta có AB2 =18 nên CD = AB  CD2 = AB2  (x2-x1)2+(y2-y1)2=18 (*)

 2(x1-x2)2 = 18  (x1-x2)2 = 9  (x1+x2)2 - 4x1x2 = 9  1-4m-9 = 0 (Theo Viet)  m = - 2 (TM) Câu III 1,ĐK xạ 0, y¹ 0

C1,

Dùng phương pháp thế rút y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta có pt:

 

3 2

2

2

1 1

2 2

3x 4x 4x 0

x 0 (0 t / m) x 3x 4x 4 0

3x 4x 4 0 (*)

x 2 y 1 (*) 2 1 x y 3 3

  

                    C2,

Nhân vế của hai PT được: (x+y)2 = 1  x+y = ± 1 (1)

Chia vế của hai PT được:

2 x 4 x 2y y        

(2)

Từ 4 PT trên giải được (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1) Thử lại: Chỉ có hai nghiệm thoả mãn HPT là: (-2;1) và (1/3;2/3)

2, GPT: 2x6 + y2 – x3y = 320

C1,

 

 

   

      

2 3 6

6 6 6 6

3 6

y 2x y 2x 320 0

' x 2x 320 320 x 0 x 320 x 2 vì x …