Kỳ thi học sinh giỏi Thanh Hoá môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN (Đề gồm có 1 trang) Thời gian làm bài :150 phút

Câu 1: (2.0 điểm )

Cho biểu thức : 2 3 2 : 2 5 6 2 3 1 x x x x A

x x x x x

                        1/ Rút gọn biểu thức A.

2/ Tìm các giá trị của x để 1 5 2 A 

Câu 2 (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2   0 a  và đường thẳng (d): y = bx + 1

1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ) Câu 3 (2.0 điểm)

1/ Cho phương trình:

2 2 (2 1) 6 0 x m x m m      (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

2/ Giải hệ phương trình:

1 1 2

1 1 1

x y

x y

       Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.

1/ Chứng minh rằng: MO = MA 2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:

a) AB AC BC   không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC Câu 5 (1.0 điểm)

Cho x, y là các số thực dương thoả mãn :

1 2 2 x y   . Chứng minh rằng :

2 2 5 4 3 x y xy y     ---------- Hết ----------

Họ tên thí sinh …………………………………………….. Số báo danh: …………………………

Chữ ký giám thị 1: ………………………………… Chữ ký giám thị 2: ……………………

DeThi.edu.vn

Bài giải Câu 1: (2.0 điểm )

Cho biểu thức : 2 3 2 : 2 5 6 2 3 1 x x x x A

x x x x x

                        1/ Rút gọn biểu thức A.

2 3 2 : 2 5 6 2 3 1 x x x x A

x x x x x

                       

(ĐK: x  0, x  4, x  9 )

A = … = 1 4 x x

 

2/ Tìm các giá trị của x để 1 5 2 A 

1 5 4 5 2 8 5 5 2 2 1

1 1 2 5 3 0 3 0 2 2 1 0 4

x x x A x

x x x x

x

        

        

  

Kết hợp với ĐK  1 0 4 x  

Câu 2 (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2   0 a  và đường thẳng (d): y = bx + 1

1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) M (P)  …  a = 2  y = 2x2

M  (d)  …  b = 1  y = x + 1 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)

Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x + 1  2x2 - x - 1 = 0

  1 2 1 1 1;2 ; ; 1 1 2 2 2 2

x y

M N x y

               

  1 2 ... 0,75 (dvv) MON thang S S S S      

Câu 3 (2.0 điểm)

1/ Cho phương trình:

2 2 (2 1) 6 0 x m x m m      (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?

phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

DeThi.edu.vn



2

3 25 0 0

2 . 0 6 0 2 1 2 1 0 0 2

m

m a c m m m

b m m a

                                    

2/ Giải hệ phương trình:

1 1 2 (1)

1 1 1 (2)

x y

x y

      

(ĐK: x  1; y  1)

(2)  x + y = xy (3) Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta có:

  

 

2 2 1 1 4

2 2 1 4

x y x y

x y xy x y

     

       

Thay (3) vào ta có: x + y = 4 kết hợp với (3) có hệ:

x+y=4

xy=4   

Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y là hai nghiệm của pt: X2 - 4x + 4 = 0  x = 2; y = 2

Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.

1/ Chứng minh rằng: MO = MA A1 = O1 và A1 = A2  A2 = O1  MAO cân  MO = MA 2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:

a) AB AC BC   không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. Theo t/c hai tia tiếp …