Đề thi tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2012- 2013

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi gồm : 01 trang

Câu I (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

2 2 2 a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc .

2) Cho x, y thỏa mãn 2 2 3 3 x y- y +1+ y+ y +1  . Tính giá trị của biểu thức

4 3 2 2 A x +x y+3x +xy- 2y +1  .

Câu II ( 2,0 điểm)

1) Giải phương trình

2 4 2 (x - 4x+11)(x - 8x +21) 35  .

2) Giải hệ phương trình    2 2

2 2

x+ x +2012 y+ y +2012 2012

x + z - 4(y+z)+8 0

 





.

Câu III (2,0 điểm)

1)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9.

2)Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên

dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.

Câu IV (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O.

Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF

tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.

1) Tính ·BIF.

2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ

giác ABHI nội tiếp.

3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là

hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để

PQ lớn nhất.

Câu V (1,0 điểm)

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1     . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức 1 1 1 B (a+b+c+3) + + a+1 b+1 c+1        .

----------------------------Hết----------------------------

Họ và tên thí sinh…………………………Số báo danh………………...……………… Chữ kí của giám thị 1: ……………………… Chữ kí của giám thị 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KÌ THI HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (chuyên)

Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG.

- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.

Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0đ)

2 2 2 2 2 2 a (b - 2c) +b (c - a) + 2c (a - b) + abc=2c (a - b)+ab(a-b)-c(a ) ( b ac a   0,25

2 ( )[2 2 ] a b c ac ab bc      0,25 ( )[2 ( ) ( )] a b c c a b a c      0,25

1) 1,0 điểm

( )( )( 2 ) a b a c b c     0,25

Có 2 2 3 3 x = y- y + 1 y+ y + 1 

3 2 2 2 2 3 3 3 3 x = 2y +3 y - y + 1 . y+ y + 1 y- y +1 y+ y +1        

0,25

3 x + 3x -2y = 0  0,25

4 3 2 2 4 2 3 2 A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + 1 = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 0,25

2) 1,0 điểm

3 3 x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 1   0,25 Câu II (1,0đ)

phương trình đã cho tương đương với

2 2 2 ( 2) 7 ( 4) 5 35 x x            (1)

0,25

Do

2

2 2 2

2 2 ( 2) 7 7 ( 2) 7 ( 4) 5 35 ( 4) 5 5

x x x x x x x

                     

0,25

2

2 2 ( 2) 7 7 (1)

( 4) 5 5

x

x

         

0,25

1)1,0 điểm

<=>x=2 0,25 2)1,0 điểm 2 2

2 2 (x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1)

x + z - 4(y+z)+8=0 (2)

   

     2 2 2 2 (1) 2012 2012 2012 2012 201 x x y y y y y         

(Do 2 2012 0 y y y    )

0,25

DeThi.edu.vn