Đề thi học sinh giỏi toán cấp huyện - Năm học 2008-2009 (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009

ĐỀ THI VÒNG II (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c  Q; a, b, c đôi một khác nhau.

Chứng minh rằng      

2 2 2

1 1 1

a c c b b a      bằng bình phương của một số

hữu tỷ.

Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500

với x < y < z.

Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 2

2 1 4 x

x x  

Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu

thêm số 0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần

chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm.

Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 200. Trên AC lấy

điểm E sao cho góc EBC = 200. cho AB = AC = b, BC = a

a) Tính CE.

b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2.

----------------------------------------

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn và thang điểm chấm Toán vòng 2

Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009 Bài 1: (2 điểm)

     

2 2 2

1 1 1

a c c b b a      =

=      

              

     b a a c a c c b c b b a a c c b b a

1 . 1 1 . 1 1 . 1 2 1 1 1

2

(1đ)

) )( )( ( 2 1 1 1

2

a c c b b a

b a c b a c a c c b b a   

           

      (0.5đ)

=

2 1 1 1      

     a c c b b a (0.5đ)

Bài 2: (2 điểm) 5x + 2.5y + 5z = 4500 (*)

5x ( 1+ 2.5y-x + 5z-x ) = 4500 = 22 . 33 . 53 (0.5đ)

 5x = 53 ; 1+ 2.5y-x + 5z-x = 36 = 1 + 35 (0.5đ)

 x = 3 ; 5y - x ( 2 + 5 z-y ) = 5 . 7 (0.25đ)

 x = 3 ; y – 3 = 1 ; 2 + 5 z-y = 7 = 2 + 5 (0.25đ)

 x = 3 ; y = 4 ; z – y = 1 (0.25đ)

 x = 3 ; y = 4 ; z = 5 thoả (*) (0.25đ)

Bài 3: (2 điểm)

A = 2

2 1 4 x

x x   =    2 1 4 1 x x (0.5đ)

=           2 1 4 4 3 x x (0.5đ)

=

2 1 2 3         x 3   (0.5đ)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 2 1 0 1 2      x x (0.5đ)

Bài 4: (2 điểm)

Gọi số cần tìm là ab . Ta có: 3

_

 ab và

__ ___

9 2 0 ab a b a   (0.25đ)

  

     

      b a

b a b a a b a

b a

2 3

3 ) ( ) 10 ( 9 2 100

3 ) (   (0.5đ)

Từ 3 2 2 3  b b a   mà 3 1 ) 3,2 (  b   do 3 3 ) (   a b a   mà 2 2 3   a a  (0.5đ)

Ta có 9 6 9 1,6 1 ) 3,2 (,2 ,3         b a a a a a    Vậy 69

__

 ab (0.5đ)

DeThi.edu.vn

A

D

C B

Bài 5: (2 điểm) a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh bằng

200 và góc đáy bằng 800) nên AB BC BC CE  (0.5đ)

Và BE = BC = a, suy ra CE = b

2 a (0.5đ)

b) Dựng AD BE, suy ra BD = 2

1 AB = 2

1 b

ta có: AE2 = ED2 + AD2, AB2 = BD2 + AD2 do đó

AB2 = BD2 + EA2 - DE2 (0.5đ)

Thay vào ta được:

2 2 2 2 2

2 4          

  

   a b b a b b b

= ab a b a b a b b       2 2 2 2

4 2 2

4 2 4

3 2 2 4 4 4 3 ab b a a b b     

2 3 3 3ab b a    (0.5đ)

E

DeThi.edu.vn