Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010- 2011 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HOÁ

Đề chính thức

Số báo danh

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán

Lớp: 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

Câu I. (5,0 điểm).

1) Cho phương trình:

2 2 2 1 0. x mx m    Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm

1 2 , x x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 2 1 2 1 2

2 3 2(1 ) x x P x x x x      khi m thay đổi.

2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1 1. a b c   Chứng minh rằng

2 2 2 A a b c   

là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ , , x y z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B x y y z z x       là số hữu tỉ.

Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:

2 2 10. 1 1 9 x x x x                

2) Giải hệ phương trình:

2

2 3

2 3

1 1 1 4

1 4.

x x y y

x x x y y y

                    Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính · . BPE Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB  ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( , P A B  và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P  ). 1) Chứng minh rằng · · ANP BNP  và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.

Câu V. (4,0 điểm).

1) Cho 1 2 45 , ,...., a a a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn 1 2 45 .... 130. a a a     Đặt

1 , ( 1,2,...,44). j j j d a a j     Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu j d xuất hiện ít nhất 10 lần.

2) Cho ba số dương , , a b c thoả mãn: 2 2 2 2 2 2 2011. a b b c c a      

Chứng minh rằng:

2 2 2 1 2011. 2 2 a b c b c c a a b       ............................................................. HẾT ........................................................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

DeThi.edu.vn

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Gồm có 3 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2010 - 2011

MÔN THI: TOÁN

LỚP: 9 THCS Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Câu Ý Hướng dẫn chấm Điểm Ta có 2 ' ( 1) 0, m m     nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 0,5

Theo định lí viet, ta có 1 2 1 2 2 , 2 1 x x m x x m    , suy ra 2 4 1 4 2 m P m

  

1,0

1) 2,5đ

2

2 (2 1) 1 1. 1, 4 2 m Max P m

     khi 1. 2 m  1,0

Từ giả thiết suy ra 2 2 2 0 ab bc ca    0,5 2a) 1,5đ Suy ra 2 ( ) A a b c a b c       là số hữu tỉ 1,0

Đặt 1 1 1 , , a b c x y y z x z       suy ra 1 1 1. a b c   0,5

Câu I

6 đ

2b) 1,0đ

Áp dụng câu 2a) suy ra 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B x y y z z x       là số hữu tỉ.

0,5

Đk: 1. x  Phương trình tương đương với

2 2 2 2 2

2 2 2 10 2 2 10 2 0. 1 1 1 9 1 1 9 x x x x x x x x x x                        

1,0

Đặt

2

2 2 , 1 x t x   ta được phương trình 2 10 5 0 9 3 t t t     hoặc 2 3 t   0,5

Với 5, 3 t  ta được

2

2 2 5 1 3 x x   (vô nghiệm) 0,5

1) 2,5đ

Với 2 , 3 t  ta được

2

2 2 2 1 3 x x   suy ra 1. 2 x  0,5

Đk: 0. y  Hệ tương đương với

2

2

3

3

1 1 4

1 1 4.

x x y y

x x x y y y

                  

0,5

Câu II

6 đ

2) 2,5đ

Đặt

1

,

u x y x v y

    

ta được hệ

2 2

3 2 2 4 4 4 0 2 1. 2 4 4 2

u u v u u u v u uv u u v

                          

1,0

DeThi.edu.vn