Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

Bài 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức: 2 1 1 : 2 1 1 1 x x x P

x x x x x

              

. Với x  0, x  1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để 2 7 P  .

c) So sánh: P2 và 2P. Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm ,x y Z  thỏa mãn: 2 2 2 2 1 2 y x x y x y xy      b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 . a b c a b c           

Chứng minh rằng:

3 3 3 a b c   chia hết cho 3.

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau:

2 2 4 20 25 6 9 10 20 x x x x x       

b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.

Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a) Chứng minh: CM vuông góc với EF. b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a b c a b c a b b c c a b c c a a b           

-------------- Hết------------

Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ

THANH HÓA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn Toán: Lớp 9

(Thời gian làm bài: 150 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

Bài Câu Nội dung Điểm

a Điều kiện: x  0, x  1.

 

  

  

3

2 1 1 : 2 1 1 1

2 1 1 : 2 1 1 1

2 ( 1) ( 1) 1 : 2 1 1

2 1 2 .

1 1 1

2

1

x x x P

x x x x x

x x x

x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x

x x

              

                  

       

  

  

   



 

0,5

0,5

0,5

0,5

b Với x  0, x  1. Ta có:

2 7

2 2 7 1

1 7

6 0

( 2)( 3) 0

P

x x

x x

x x

x x



   

  

  

   

Vì 3 0 x   nên 2 0 x   4 x   (t/m)

Vậy P = 2

7

khi x = 4

0,5

1,0

0,25

0,25

1

c Vì 0 1 1 x x x     0,25

0,25

DeThi.edu.vn

2

2

2 0 2 1 0 2 ( 2) 0

2 0

2

x x P P P

P P

P P

          

  

 

Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0

Vậy P2  2P

0,25

0,25

a

 

2 2 2

2 2 2

2

2 1 2

2 1 2 0

1 (2 ) 1

y x x y x y xy

x y y x

   

     

    

Vì x, yZ nên x - 1Ư(-1) =  1; 1 

+) Nếu x – 1 = 1x = 2

Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1

y = 1 (t/m) hoặc y = 1

2 Z (loại)

+) Nếu x – 1 = -1 x = 0

Khi đó 2y2 - y = 1

y = 1 (t/m) hoặc y = 1

2 Z (loại)

Vậy 2 0 ; 1 1 x x y y          

0,5

0,25

0,5

0,5

0,25

2

b a) Từ giả thiết

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) a b c a b c 1 1 1 2( ) 0 ab bc ca

    

   

Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0

    3 3

3 3 3

3 3 3

a b c

a b c

a b 3ab(a b) c

a b c 3abc

  

  

    

   

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

DeThi.edu.vn

Vậy

3 3 3 a b c 3    với a, b, c Z 

Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức

x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)

mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.

a Đkxđ: x R 

2 2 4 20 25 6 9 10 20 x x x x x       

Vì

2 2 4 20 25 6 9 0 x x x x       với x 

10x – 20 0 2 x   

Ta có:

2 2 4 20 25 6 9 10 20

2 5 3 10 20

2 5 3 10 20

7 28

4( / )

x x x x x

x x x

x x x

x

x t m

      

     

     

 

 

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

0,25

0,5

0,5

0,5

0,25

3

b x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

 

2 2

2 7( ) 10

( 2)( 5) 0 4 1 1

x y x y y

x y x y y x y

     

         

* x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0

* x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0

Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0

Amax = - 1 khi x = -2; y = 0

0,5

0,5

0,5

0,5

DeThi.edu.vn