Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017

PHÒNG GD&ĐT

TP. BẮC GIANG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (5 điểm)

a. Cho biểu thức M= a a b b a b a b a b b a       với a, b > 0 và a b

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết    1 1 2 1 a b ab    

b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn 5 4 18 2 3 2 2 a b a b      c. Cho a, b, c thỏa mãn 7 a b c    ; 23 a b c    ; 3 abc 

Tính giá trị biểu thức H= 1 1 1 6 6 6 ab c bc a ca b         Bài 2: (4,5 điểm)

a. Tính giá trị của biểu thức N= 4 3 4 3 27 10 2 4 13

      b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn   

2 2 2 2 a b a b    + 2 (1 ) 4 ab ab  

Chứng minh 1 ab  là số hữu tỉ

c. Giải phương trình   2 4 2 1 1 x x x x      Bài 3: (3,5 điểm) a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn 5 2 2 1 x y xy    b. Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh

1 1 1 3 2 2 2 2 ab a bc b ca c         Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng

bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy

M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH

vuông góc với AB, CE vuông góc với AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại

O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P.

a. Chứng minh MNCO là hình thang cân

b. MB cắt CH tại I. Chứng minh KI song song với AB

c. Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông

góc với QF

Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số

chính phương

Họ tên thí sinh.................................................... SBD:................................

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017

MÔN: TOÁN LỚP 9

Câu Nội Dung Điểm Bài 1 4 đ a/ 1,5đ -Rút gọn M= ab a b  với a, b>0 và a b

-Ta có

  

 

2 2

1 1 2 1 1 2 1

( ) 1 1

a b ab ab a b ab

ab ab ab a b

a b a b

        

         + Nếu a>b>0

0; 0 0

1 1

ab a b a b ab

a b

ab ab ab M a b a b a b

        

        + nếu 0<a<b

0; 0 0

1 1

ab a b a b ab

a b

ab ab ab M a b a b a b

        

         

0,75

0,25

0,25

0,25

b/ 1,5đ

   

 

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

5 4 18 2 3 2 2

5 5 2 4 4 2 18 2 2 3 2

5 5 2 4 4 2 18 2 36 2 3 6

18 2 36 2 9 2 3 6

18 36 9 2 3 6

a b a b

a b a b a b a b

a b b a b a

a b b a b a

    

       

       

     

     

-Nếu

2 2 2 2

2 2 3 6 18 36 9 0 2 18 36 9 a b a a b b a b b         

Vì a, b nguyên nên

2 2

2 2 3 6 2 18 36 9 a b a Q Q a b b        Vô lý vì 2 là số vô tỉ

-Vây ta có

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

3 3 6 18 36 9 0 3 18 36 9 0 2 2 3 6 0 3 6

a b b a b b a b b a b a b a a b a

                         

Thay a= 3

2 b vào 2 2 3 6 0 a b a    t

a có 2 2 2 2 9 3 3 6 0 27 24 6 0 3 ( 2) 0 4 2 b b b b b b b b           

0,5

0,25

0,75

DeThi.edu.vn