Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao bài)

Bài 1 (5 điểm).

Cho biểu thức: A =  

  



      

  



 

1 2 1

1 : 1 2 1

a a a a

a a a

a , với a ≥ 0

1. Rút gon biểu thức A.

2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009 .

Bài 2 (4 điểm).

1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2

2. Giải hệ phương trình:

  

  

  

1

) ( 3 3 3

y x

y x y x

Bài 3 (4 điểm).

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32)

2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD.

Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN

Bài 4 (5 điểm).

Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN.

1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL.

2. Chứng minh ∆LMN vuông cân

3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP.

Bài 5 (2 điểm).

Cho a b và ab = 6. Chứng minh: 3 4

2 2

  

b a

b a

..................................Hết....................................

Họ và tên thí sinh: ........................................................................ Số báo danh:....................... Họ tên và chữ ký của giá thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị 2 ............................................ ..................................................

Đề chính thức

DeThi.edu.vn

PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS

Hướng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm 1 (3,0đ) Với điều kiện a 0. Ta có:

A =  

  



      

  



 

1 2 1

1 : 1 2 1

a a a a

a a a

a

=  

  



    

 

) 1 )( 1 (

2

1

1 : 1

1 2

a a

a

a a

a a

=  

) 1 )( 1 (

2 1 : 1

1

2

a a

a a a

a

 

  



=   a a a

a a a    

   1 )1 )( 1 (

) 1 )( 1 ( 1

2

2

1,0

1,0

1,0

Câu 1 5,0 điểm

2(2,0 đ) Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2

Thì A = 1 + 2009 )1 2009 ( 2  

1,0

1,0 Câu 2 4,0 điểm

1 (2,0đ) Ta có (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2

(x2+ 9x +8)(x2 +8x + 8) = 28x2

+ x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) + Với x0 chia hai vế (1) cho x2 ta được:

(1) <=> ) 9 8 )( 6 8 (     x x x x = 28

Đặt t = x x 8 

(1) trở thành (t+6)(t+9) = 28 <=> t2 + 15t + 26 = 0





 

   13 2 t t

Với t = -2 ta có x x 8  = - 2 <=> x2 + 2x + 8 = 0. PT này vô nghiệm.

Với t = -2 ta có x x 8  = - 13 <=> x2 +13x + 8 = 0.<=> x = - 13 137  .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = - 13 137  .

0,5

0,5

0,5

0,5 2 (2,0 đ) Hệ phương trình:

  

  

  

1

) ( 3 3 3

y x

y x y x

  

  

     

1

0 ) 3 )( ( 2 2

y x

y xy x y x

Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ phương trình sau:

0,5

DeThi.edu.vn

  

  

 

1

0

y x

y x

(I) và

  

  

    

1

0 3 2 2

y x

y xy x (II)

* Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = ( 2 1 ; 2 1   )

* Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu của hệ (II) ta được x2 +x -2 = 0 Phương trình này có hai nghiệm: x = -1 và x = - 2 Từ đó ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1)

Kết luận: Hệ đã cho có nghiêm (x;y) l à: ( 2 1 ; 2 1   ); (1; - 2); (2; -1)

0,5

0,25

0,5

0,25

Câu 3 4,0 điểm

1(2,0đ): Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) <=> x6+(y-x3)2 = 64 => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2} Xét các trường hợp: + x = 2 => (y - x3)2= 0 => y = 8 + x = 1 => (y - x3)2= 63 => y Z => pt này không có nghiệm nguyên + x = 0 => (y - x3)2= 4 => y = 8 và y = - 8 + x = - 1 => (y - x3)2= 63 => yZ => pt này không có nghiệm nguyên + x = -2 => (y - x3)2= 0 =>y = - 8 Vậy nghiệm của phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8).

0,5

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25

2(2,0đ)

Ta có ∆AMB và ∆ANC vuông cân nên MA = MB và NA = NC Nên BM + CN = AM + AN Giả sử: AB ≥AC

Theo tính chất phan giác ta có 1  AB

AC DB DC

∆CDN và ∆BDM nên 1  DB

DC DM

DN => DN ≤ DM

Nếu I là trung …