Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2017

Đề chính thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2017

Bài 1 (6,0 điểm).

1. Cho biểu thức: P = 2 16 6 2 3 2 2 3 1 3 m m m m m m m          

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: 1 1 4 x y x y   

b) Cho phương trình: 2 2 3 2 0 x mx    (m là tham số). Có hai nghiệm 1x và 2x .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =  

2 2 2 2 1 2 1 2

1 2

1 1 x x x x x x           

Bài 3 (2,0 điểm)

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 x yz y xz z xy xy yz zx              

Bài 4 (7,0 điểm).

1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó.

a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức:

MH + MI + MK =   2 3 S + 2S'

3R

2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho · · MAN = BAC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc ·NMF

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN

Bài 1 (6,0 điểm).

1a) Rút gọn được P = 1 1 m m

  (với m  0, m  1)

1b)

P = 1 1 m m

  = 1 + 2

1 m 

Ta có: P  N 2 1 1

N m m      là ước dương của 2  m   4; 9  (TMĐK)

Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm. 2) a + b + c  4 (a, b, c  Z) Đặt a + b + c = 4k (k  Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc =    2 16 4 4 k ak ack ac k b abc     

= 64 3 2 2 2 16 16 4 16 4 4 k bk ak abc ck bck ack abc        abc  =   3 2 2 2 4 16 4 4 4 2 k bk ak abk ck bck ack abc        (*)

Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1  a+ b + c chia 2 dư 1 (1) Mà: a + b + c  4 a + b + c  2 (theo giả thiết) (2) Do đó (1) và (2) mâu thuẫn  Điều giả sử là sai

Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2 2abc  4 (**) Từ (*) và (**) P  4

Bài 2 (5,0 điểm).

a) 1 1 4 x y x y        2 2 4 4 0 a b a b ab a b ab a b           (đúng)

b) PT có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt 1x và 2x

Ta có: 1 2

3

2

m x x   và 1 2

2 . 2 x x 

M =  

2 2 2 2 1 2 1 2

1 2

1 1 x x x x x x           

= ......=

     

     

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2

1 1 1 4 1 x x x x x x x x x x x x x x

                           

= 2 9 2 9 8 2 8 8 2 8 2 m             

Dấu “=” xảy ra khi m = 0 Vậy GTNN của M là 8 2 8  khi m = 0 Bài 3 (2,0 điểm) Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương 2x và yz, ta có:

DeThi.edu.vn